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第861行： − * 当 [math]N < {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 时，则会导致人口在有限时间内达到一个 "'''奇点'''"（singularity），即人口无限增长，如下图 c 所示。如果不加干预，最终会导致停滞或崩溃。+ − * 当 [math]N > {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 时，则城市将不会增长，只会走向'''崩溃'''，如下图 d 所示。+ + + + + + + +
→超线性增长：繁荣与崩溃
Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程{{EquationNote|12}}的解分为两种情况：
Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程{{EquationNote|12}}的解分为两种情况：
1. 当[math]N(0)<N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时：
当资源稀缺时，超线性动态的特点是崩溃（collapse），此时的生长曲线呈现如图d左所示。这反映了过度依赖有限资源而导致的不稳定性和脆弱性。
2. 当[math]N(0)>N^*= {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]时
城市呈现超指数增长，即在有限时间内，人口规模[math]N(t)[/math]达到无穷大，其生长曲线表现为如图d右所示。
[[文件:城市增长的繁荣-崩溃模式.png|无框|600x600像素]]<ref name=":3" />
[[文件:城市增长的繁荣-崩溃模式.png|无框|600x600像素]]<ref name=":3" />
其中[math]t_c[/math]为人口规模达到无穷的时间点，该点也被称为'''有限时间奇点'''。
===奇点===
===奇点===