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===复杂网络与马尔科夫链的相似性===
===复杂网络与马尔科夫链的相似性===
对一个复杂网络的而言，并不具备一定的动力学，所以需要人为定义一套动力学，借助随机游走子的概念，在网络上定义了一套随机游走动力学。
对一个复杂网络的而言，并不具备一定的动力学，所以需要人为定义一套动力学，借助随机游走子的概念，在网络上定义了一套随机游走动力学。
考虑一个连通图<math>G</math>，邻接矩阵为<math>A</math>，假设图上有<math>N</math>个节点，分别为<math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
考虑一个连通图<math>G</math>，邻接矩阵为<math>A</math>，假设图上有<math>N</math>个节点，分别为<math>1,2,...,N</math>，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
，假设图上有$$N$$个节点，分别为$$1,2,...,N$$，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
，假设图上有$$N$$个节点，分别为$$1,2,...,N$$，我们定义从节点<math>i\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>到节点<math>j\in\left\{1,2,...,N\right\}</math>的转移概率为<math>w_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j}a_{ij}}</math>（即对边权进行行归一化），其中<math>a_{ij}</math>表示邻接矩阵的第<math>i</math>行第<math>j</math>列元素，对应从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的边的权重。由于该网络是连通图，所以分母<math>\sum_{j}a_{ij}</math>会大于<math>0</math>，而且满足行归一化，即<math>\sum_{j=1}^N {w_{ij}}=1</math>。这样我们就定义了一个马尔科夫链，状态空间为<math>\left\{1,2,...,N\right\}</math>，从状态<math>i</math>到状态<math>j</math>的转移概率为<math>w_{ij}</math>，转移矩阵为<math>W=\left\{w_{ij}\right\}_{N \times N}</math>。
===复杂网络的粗粒化方法===
====谱粗粒化====
复杂网络可以被建模为一个马尔科夫过程，它的动力学由邻接矩阵<math>A</math>构建的随机矩阵$$W$$（或称转移概率矩阵）所描述，定义为<math>W_{ij} = \frac{A_{ij}}{\sum_k A_{kj}}</math>表示从节点<math>j</math>转移到节点<math>i</math>的概率。为实现网络的降维与简化，研究一种基于谱理论的粗粒化方法。该方法的核心在于选取随机矩阵前<math>S</math>个最大非平凡特征向值<math>\lambda^2, \lambda^3, \ldots, \lambda^{S+1}</math>对应的左特征向量<math>\langle u^2 |, \langle u^3 |, \ldots, \langle u^{S+1} |</math>，将网络节点映射到该特征向量张成的特征空间。在此基础上，将每个特征向量的值域划分为<math>I</math>个区间，在所有<math>S</math>个特征向量均落入相同区间的节点合并为一个超级节点。从概率角度可以对此粗粒化过程可以解释为，将新超级节点的出边概率为原节点的出边概率的加权平均，其流入概率为原节点的流入概率相加，其他没有合并节点的转移概率保持不变。
====结合统计物理与机器学习的网络流方法====
我们用扩散方程<math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math>来描述网络的扩散过程，其中拉普拉斯矩阵<math>L=D-A</math>描述网络的拓扑结构，<math>A</math>是邻接矩阵，<math>D</math>是度矩阵。扩散方程的解为<math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中<math>e^{-\tau L}</math>为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math>表示经过时间<math>\tau</math>后从节点<math>j</math>到节点<math>i</math>的流量。
利用配分函数<math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵<math>e^{-\tau L}</math>的每个对角元<math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math>是第<math>i</math>个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。
通过图神经网络（GNN）的消息传递机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用Softmax函数，得到分组矩阵<math>S_{N\times M}</math>，其中元素<math>s_{ij}</math>表示节点<math>i</math>分到第<math>j</math>个超级节点的概率。
通过<math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math>得到宏观邻接矩阵<math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中<math>A_{N\times N}</math>原始网络的邻接矩阵。归一化配分函数<math>\frac{Z}{N}</math>的平均绝对误差（MAE）作为训练图神经网络的损失函数，通过梯度下降优化GNN的参数。
网络规模从<math>N</math>压缩到<math>N^{'}</math>后，得到新的拉普拉斯矩阵<math>L^{'}</math>和配分函数<math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是<math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当<math>\tau=0</math>时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为<math>\frac{N}{N^{'}}</math>。
马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的随机过程，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在离散时间马尔科夫链中，转移概率矩阵为<math>P</math>；在连续时间马尔科夫链中，<math>P(t)=e^{-tL}</math>是经过时间$$t$$的转移概率矩阵。配分函数<math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math>可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。
进行稳态分析的时候，当<math>t\rightarrow \infty</math>时，<math>e^{-tL}</math>的极限与稳态分布有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析<math>e^{-tL}</math>的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。
====具有自非相似性的复杂网络的粗粒化方法====
==对划分的限制==
==对划分的限制==