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→PF算子
==PF算子==
==PF算子==
历史上，像 Perron-Frobenius (PF) 算子这样的传递算子在遍历理论中被用于研究测度论特征。下面将在确定性和随机系统的背景下描述 PF 算子。如果是确定性系统，那么令 <math> \mathbb{X} \subset \mathbb{R}^d </math> 为一个紧致[[流形]]，且 <math> f : \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X} </math> 为一个光滑的时不变向量场。考虑如下自治时不变常微分方程
<math> \dot{x} = f(x). </math>
令 <math> \phi_f : \mathbb{R} \times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X} </math> 为 ODE 的流映射，即 <math> \phi_f(t, x_0) </math> 是ODE在初始条件 <math> x(0) = x_0 </math> 下的解。
'''定义''': 如果算子半群 <math> \mathcal{P}^\tau : \tau \ge 0 </math> 满足如下定义，则称其为 Perron-Frobenius (PF) 算子，其中 <math> \mathcal{P}^\tau : L^1(\mathbb{X}) \rightarrow L^1(\mathbb{X}) </math> 定义为 <ref name=goswami_2018>Goswami, D., Thackray, E., & Paley, D. A. (2018). Constrained Ulam Dynamic Mode Decomposition: Approximation of the Perron-Frobenius Operator for Deterministic and Stochastic Systems. IEEE Control Systems Letters, 2(4), 809–814. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2018.2849552
</ref>
<math> \mathcal{P}^\tau \rho(\cdot) = \rho \circ \phi_f(-\tau, \cdot) |\det(D_x \phi_f(-\tau, \cdot))|, </math>
其中 <math> D_x </math> 表示关于空间变量 <math> x </math> 的雅可比行列式。如果 <math> \rho(\cdot) </math> 是关于绝对连续概率测度 <math> \nu </math> 的概率密度函数 (PDF)，那么 <math> \mathcal{P}^\tau \rho </math> 是关于绝对连续概率测度 <math> \nu \circ \phi(-\tau, \cdot) </math> 的另一个PDF。具体来说，
<math> \int_B \mathcal{P}^\tau \rho d\nu = \int_{\phi_f(-\tau, B)} \rho d\nu, </math>
对于任意 <math> \nu </math>-可测集 <math> B </math>。PF算子根据动力学的流随时间平移概率密度函数。可以证明，该半群 <math> \mathcal{P}^\tau \rho </math> 的生成元由 <math> -\nabla \cdot (\rho f) </math> 给出。
现在假设我们定义一个时变 PDF <math> \tilde{\rho}(t, x) \triangleq \mathcal{P}^t \rho(x) </math>。那么可以证明 <math> \tilde{\rho}(t, x) </math> 满足偏微分方程 (PDE)<math> \frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial t} = -\nabla \cdot (\tilde{\rho} f) </math> <math> \tilde{\rho}(0, x) = \rho(x). </math>
==Lie算子==
==Lie算子==