更改

实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为[[高斯迭代映射]]）。

实验数据为<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为[[高斯迭代映射]]）。

下图中左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以[[复平面]]（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是[[伪谱]]轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- [[伪谱]]，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包。

下图展示了高斯迭代映射伪谱图与随着数据点𝑀数量增加，不同求积法则下Galerkin矩阵Ψ*<small>𝑋</small>𝑊Ψ<small>𝑌</small>的收敛情况。下图中左图验证 ResDMD 的谱污染剔除能力，以[[复平面]]（横轴<math>Re(\lambda)</math>、纵轴<math>Im(\lambda)</math>）为背景，黑色曲线是[[伪谱]]轮廓，分别对应<math>\epsilon=0.001,0.01,0.1,0.3</math>的<math>\epsilon</math>- [[伪谱]]，定义为：<math>\sigma_\epsilon(K) = cl\left(\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(K - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon\}\right)</math>。其中<math>cl(\cdot)</math>表示集合的闭包。

品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于伪谱之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5的[[特征值]]对应不存在的高频振荡，与[[高斯迭代映射]]的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。下图右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

品红色圆点为传统 EDMD [[特征值]]，大量[[特征值]]位于伪谱之外，这些是离散化导致的[[谱污染]]（虚假[[特征值]]），无法反映系统真实动力学，例如虚部 > 0.5的[[特征值]]对应不存在的高频振荡，与[[高斯迭代映射]]的实际动力学矛盾。蓝色叉号为ResDMD 筛选[[特征值]]，所有[[特征值]]均位于<math>\epsilon=0.01</math>的伪谱内。下图右图体现不同积分规则的性能差异，以 “数据点数量M” 为横轴、“核心矩阵元素最大绝对误差” 为纵轴（对数坐标），误差定义为：

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

<math>err = \max_{1 \leq j,k \leq N_K} \left| (\Psi_X^* W \Psi_Y)_{jk} - \langle K\psi_k, \psi_j \rangle \right|</math>，

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯-勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。高斯迭代映射伪谱图与随着数据点𝑀数量增加，不同求积法则下Galerkin矩阵Ψ*<small>𝑋</small>𝑊Ψ<small>𝑌</small>的收敛情况。

其中<math>\langle K\psi_k, \psi_j \rangle</math>为 Koopman 算子 inner product 的真实值（作为误差基准）。结果显示不同积分规则的收敛速率差异显著：高斯-勒让德规则指数收敛；梯形规则<math>O(M^{-2})</math>；黎曼和规则<math>O(M^{-1})</math>；[[蒙特卡洛]]规则<math>O(M^{-1/2})</math>。

[[文件:ResDMDGussian.png|500x500px|替代=|]]

[[文件:ResDMDGussian.png|500x500px|替代=|]]