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第181行：
第181行： − + 第213行：
第213行： − − ===数据回归=== − − 此处可直接参考下文中“扩展DMD”章节部分。简单来说，给定观测函数<math>g</math>并拟合得到Koopman矩阵<math>K</math>以后，我们可以按照如下方式定义Koopman算子的特征函数： − − :<math>\displaystyle{ \varphi_α(x) } = \boldsymbol{\xi}^\top_αg(x) </math> ， − − 其中 <math> \boldsymbol{\xi}^\top_α(K) = α \boldsymbol{\xi}^\top_α </math>。这代表<math>\boldsymbol{\xi}^\top</math>是<math>K</math>的左特征向量。
→一般的观测函数下如何得到特征函数？
==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==
==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==
注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以会有[[无限]]多个[[特征函数]]。只要有[[生成元]]，就可以[[无限]]地生成新的[[特征函数]]。而换一组[[生成元]]，[[特征函数]]的表现形式会很不一样。有几种方法可以用来数值近似计算Koopman[[特征函数]]。
注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以会有[[无限]]多个[[特征函数]]。只要有[[生成元]]，就可以[[无限]]地生成新的[[特征函数]]。而换一组[[生成元]]，[[特征函数]]的表现形式会很不一样。
===傅立叶平均===
===傅立叶平均===
实际操作时，对于[[相空间]]上的每一个点，根据[[迭代]]方程演化任意步（比如1000步），然后对演化出来的每一个状态都根据上面给出的观测函数进行观测，最后对所有观测值取平均，得到的便是起始点处[[特征函数]]的取值（对应图上点的颜色），对应的[[特征值]]为1。理论上要演化无穷多步取平均，所以[[迭代]]步数越长越好。从图中效果可见，[[特征函数]]可以区分和标识出不同的[[周期轨道]]。
实际操作时，对于[[相空间]]上的每一个点，根据[[迭代]]方程演化任意步（比如1000步），然后对演化出来的每一个状态都根据上面给出的观测函数进行观测，最后对所有观测值取平均，得到的便是起始点处[[特征函数]]的取值（对应图上点的颜色），对应的[[特征值]]为1。理论上要演化无穷多步取平均，所以[[迭代]]步数越长越好。从图中效果可见，[[特征函数]]可以区分和标识出不同的[[周期轨道]]。
==不变子空间==
==不变子空间==