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→基础模型
====基础模型====
====基础模型====
[[匹配生长模型]]假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程<ref name=":15" />。其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象的特征空间）。再次，我们假设节点P和节点Q的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。
[[匹配生长模型]]假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程<ref name=":15" />。其次，模型假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象特征的空间）。再次，模型假设任意两个节点的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点Q发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点P才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。
下图展示了一个二维的[[匹配生长模型]]的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（[[匹配]]），才能有效地生长。有效生长后（达到了[[匹配]]），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。
下图展示了一个二维的[[匹配生长模型]]的生长过程，其中每一个圆盘中心对应为一个节点，圆盘对应为每个节点的相互作用范围。圆盘随机地生成（新圆盘坐标服从二维空间的均匀分布），新的圆盘只有与一个已有的圆盘重叠的时候（[[匹配]]），才能有效地生长。有效生长后（达到了[[匹配]]），新节点会和其对应圆盘范围内的所有节点建立新的连接。
[[File:matchingprocess.png|二维平面上的[[匹配生长模型]]，其中每一个圆盘的中心点就是网络的节点，代表的对象可以是一个人、一个居民社区、一个用户等，节点之间的连边代表了节点之间的相互作用，圆盘代表了每个节点的覆盖范围大小。该模型的运行规则是，节点顺序地一个个地随机生成（二维坐标随机），但是只有当新节点与老节点的圆盘相互重叠（匹配）时，新节点才真正生长成功，一旦成功，则新节点会与其对应圆盘范围内的所有节点建立连边。该模型可模拟虚拟空间中的社区生长、网络生长，也可以经改造后模拟城市的生长。|300px|无|缩略图]]
[[File:matchingprocess.png|二维平面上的[[匹配生长模型]]，其中每一个圆盘的中心点就是网络的一个节点，可以代表一个人、一个居民社区、一个用户等，节点之间的连边代表了节点之间的相互作用，圆盘代表了每个节点的覆盖范围大小。该模型的运行规则是，节点顺序地一个个地随机生成（二维坐标随机），但是只有当新节点与老节点的圆盘相互重叠（匹配）时，新节点才真正生长成功，一旦成功，则新节点会与其对应圆盘范围内的所有节点建立连边。该模型可模拟虚拟空间中的社区生长、网络生长，也可以经改造后模拟城市的生长。|300px|无|缩略图]]
如果我们将该生长网络的节点数量记为[math]N[/math]，连边数记为[math]Y[/math]，所有圆盘覆盖的面积记为[math]D[/math]，则三个变量服从如下规模法则：
如果我们将该生长网络的节点数量记为[math]N[/math]，连边数记为[math]Y[/math]，所有圆盘覆盖的面积记为[math]D[/math]，则三个变量服从如下规模法则：
</math>
</math>
这三种规模法则可以模拟普遍存在于各类[[复杂系统]]中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]N[/math] 表示系统的规模，[math]E[/math] 表示系统中的连边数，即系统中的相互作用，[math]V[/math]表示节点圆盘的覆盖区域的面积，可以建模系统中节点的多样性水平；[math]t[/math]代表整个网络的生长周期（总共产生了多少个随机点，也包括无效生长的点），[math]d[/math]代表空间维度，在二维空间中，[math]d=2[/math]。
这三种规模法则可以模拟普遍存在于各类[[复杂系统]]中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]N[/math] 表示系统的规模，[math]E[/math] 表示系统中的连边数，即系统中的相互作用，[math]V[/math]表示节点圆盘的覆盖区域的面积，可以建模系统中节点的多样性水平；[math]t[/math] 代表整个网络的生长周期（总共产生了多少个随机点，也包括无效生长的点），[math]d[/math]代表空间维度，在二维空间中，[math]d=2[/math]。
这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。
这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中普遍存在的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。
进一步，为了模拟、解释城市、在线社区等实际生长现象，特别是形成的幂指数应保持与实际观测的幂指数接近一致，该模型还引入了“拥挤机制”（体现为一个新节点在某处的实际“存活”除了考虑临近匹配规则之外，还会以正比于 [math]\rho(x)^{-\theta}[/math] 的概率成功“存活”，其中 [math]\rho[/math] 为x点处的节点密度，幂指数 [math]\theta[/math]为引入的参数，刻画了新节点加入的概率对已存在节点密度，即拥挤程度的敏感性<ref name=":15" />。在这一机制引入之后，模型便可以得到新的规模法则：
:<math>
:<math>
E(t)\propto N(t)^{,1+\frac{1}{(1+\theta)d}}
E(t)\propto N(t)^{1+\frac{1}{(1+\theta)d}}
</math>
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:<math>
:<math>
V(t)\propto N(t)^{,\frac{(1+\theta)d}{1+(1+\theta)d}}.
V(t)\propto N(t)^{\frac{(1+\theta)d}{1+(1+\theta)d}}.
</math>
</math>
即连边的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则的幂指数都会随着[math]\theta[/math]的变化而变化。当 [math]\theta[/math] 增大时，系统增长趋于线性。研究表明，超线性与次线性规律源于同一几何约束机制：活动密度增加压缩空间体积，从而使在线社区在增长中同时表现出交互加速与多样性减缓的“几何[[匹配]]”特征。
即连边的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则的幂指数都会随着[math]\theta[/math]的变化而变化。当 [math]\theta[/math] 增大时，系统增长趋于线性。研究表明，超线性与压线性规律源于同一几何约束机制：活动密度增加压缩空间体积，从而使系统在增长过程中同时表现出交互加速与多样性减缓的“几何匹配”特征。
有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d,\theta[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。
有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d[/math]和参数[math]\theta[/math]是多少，幂指数都满足：[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]以及专著《规模法则》<ref name=":1">。
====扩展到城市生长模型====
====扩展到城市生长模型====