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==模型方程==

==模型方程==

<math display="block">

<math display="block">

\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - P(N)

\frac{dN}{dt} = RN(1 - \frac{N}{K}) - P(N)

</math>

</math>

* <math>N</math>为蚜虫的虫群数量，<math>K</math>为森林的环境承载能力。其中<math>K</math>是一个变化较慢的参数。

* <math>N</math>为蚜虫的虫群数量，<math>K</math>为森林的环境承载能力。其中<math>K</math>是一个变化较慢的参数。

* <math>rN(1 - N/K)</math> 是虫子的逻辑斯谛增长（参考[[一维动力学]]）（Logistic Growth）。

* <math>RN(1 - N/K)</math> 是虫子的逻辑斯谛增长（参考[[一维动力学]]）（Logistic Growth）。

* <math>P(N)</math> 是被捕食曲线，例如 <math>P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>。

* <math>P(N)</math> 是被捕食曲线，例如 <math>P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>。

===无量纲公式化处理===

===无量纲公式化处理===

以<math>\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>为例,

以<math>\frac{dN}{dt} = RN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>为例,

由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到[[逻辑斯谛方程]]的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。

由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到[[逻辑斯谛方程]]的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。

# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{r}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>

# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{R}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>

# 引入无量纲时间<math>\tau=\frac{B t}{A}</math>，无量纲参数<math>r=\frac{r A}{B}</math>与<math>k=\frac{K}{A}</math>。再根据链式微分法则可到最终的化简方程：<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } = rx(1-\frac{x}{k}) - \frac{x^2}{1+x^2} </math>

# 引入无量纲时间<math>\tau=\frac{B t}{A}</math>，无量纲参数<math>r=\frac{R A}{B}</math>与<math>k=\frac{K}{A}</math>。再根据链式微分法则可到最终的化简方程：<math>\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \tau } = rx(1-\frac{x}{k}) - \frac{x^2}{1+x^2} </math>

==分析过程==

==分析过程==