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==== 整合信息分解(ΦID) ====

==== 整合信息分解(ΦID) ====

整合信息分解是一种PID框架的推广,该框架旨在综合部分信息框架与整合信息论（IIT),克服 PID 单目标变量局限与传统整合信息测度（如 \PhiWMS、CD）的行为不一致性局限，并将PID扩展至多源。

整合信息分解是一种PID框架的推广,该框架旨在综合部分信息框架与整合信息论（IIT),克服 PID 单目标变量局限与传统整合信息测度（如 <math>\Phi WMS</math>、CD）的行为不一致性局限，并将PID扩展至多源。

这一框架的核心结构分为两部分：其一是可以呈现多变量信息结构特征的'''双重冗余格'''\mathcal{A}^2 = \mathcal {A} \times \mathcal{A}，\mathcal{A}是单一目标冗余格，其二用于捕捉信息在多个来源的'''双重冗余函数'''I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta}

这一框架的核心结构分为两部分：其一是可以呈现多变量信息结构特征的'''双重冗余格'''<math>\mathcal{A}^2</math> = <math>\mathcal {A} \times \mathcal{A}，\mathcal{A}</math>是单一目标冗余格，其二用于捕捉信息在多个来源的'''双重冗余函数'''<math>I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta}</math>

'''双重冗余格'''：

'''双重冗余格'''：

取\mathcal{A} = \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},\{\{1\}\{2\}\}\}，由其生成的双重冗余格结构如下图所示,

取<math>\mathcal{A} = \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},\{\{1\}\{2\}\}\}</math>，由其生成的双重冗余格结构如下图所示,

[[文件:双重冗余格.png|缩略图]]

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1763606756291.png

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<nowiki>图中每个节点代表一有序对\mathbf{\alpha \rightarrow \beta},\mathbf{\alpha,\beta \in \mathcal {A}},称双冗余原子</nowiki>

图中每个节点代表一有序对<math>\mathbf{\alpha \rightarrow \beta},\mathbf{\alpha,\beta \in \mathcal {A}}</math>,称双冗余原子

双重冗余格上定义了偏序关系

双重冗余格上定义了偏序关系

\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta} \preceq\mathbf{\alpha'} \rightarrow \mathbf{\beta}' \Leftrightarrow \mathbf{\alpha} \preceq a',\beta \preceq \beta'

<math>\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta} \preceq\mathbf{\alpha'} \rightarrow \mathbf{\beta}' \Leftrightarrow \mathbf{\alpha} \preceq a',\beta \preceq \beta'</math>

'''双重冗余函数'''：

'''双重冗余函数'''：

双重冗余函数I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta},是针对双重冗余格中的每个节点\alpha \rightarrow \beta 定义的函数——其中\alpha代表源变量集，\beta代表目标变量集。它的数学形式也由一组特定的公理约束得到。双重冗余函数的功能是量化源变量集合\alpha与目标变量集合\beta被共同观测到的重叠信息，是一种多源目标场景下冗余信息的广义形式。

双重冗余函数<math>I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta}</math>,是针对双重冗余格中的每个节点<math>\alpha \rightarrow \beta</math>定义的函数——其中<math>\alpha</math>代表源变量集，<math>beta</math>代表目标变量集。它的数学形式也由一组特定的公理约束得到。双重冗余函数的功能是量化源变量集合<math>\alpha</math>与目标变量集合<math>\beta</math>被共同观测到的重叠信息，是一种多源目标场景下冗余信息的广义形式。

常用的双重冗余函数为最小互信息函数：

常用的双重冗余函数为最小互信息函数：

I_{\phi\cap}^{MMI}(\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta}) = \min_{i,j}I(A_i,B_i)

<math>I_{\phi\cap}^{MMI}(\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta}) = \min_{i,j}I(A_i,B_i)</math>

对于何种冗余函数能与乘积格兼容，存在特定限制条件。面对Mediano等人提出的“兼容性约束”条件，在多源单目标场景中，要求 \PhiID 必须回归标准PID模式，这说明PID是 \PhiID的一种特例。

对于何种冗余函数能与乘积格兼容，存在特定限制条件。面对Mediano等人提出的“兼容性约束”条件，在多源单目标场景中，要求 <math>\PhiID </math>必须回归标准PID模式，这说明PID是<math>\PhiID</math>的一种特例。

与单目标PID的情况不同,双重冗余格并源自冗余函数，而是通过边际格的乘积自然形成，这种用偏序格的代数结构处理冗余信息的方法在逻辑上正确性已成为学界共识，但相比于PID框架，\PhiID框架的数学基础处于亟待完善的状态。

与单目标PID的情况不同,双重冗余格并源自冗余函数，而是通过边际格的乘积自然形成，这种用偏序格的代数结构处理冗余信息的方法在逻辑上正确性已成为学界共识，但相比于PID框架，<math>\PhiID</math>框架的数学基础处于亟待完善的状态。

== PID框架应用研究 ==

== PID框架应用研究 ==