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洛伦兹方程(Lorenz equation)描述空气流体运动的一个简化微分方程组.1963年，美国气象学家洛伦兹(Lorenz,E. N.)将描述大气热对流的非线 性偏微分方程组通过傅里叶展开，大胆地截断而导 出描述垂直速度、上下温差的展开系数x(t),y(t),z(t)的三维自治动力系统  <ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> :

洛伦兹方程(Lorenz equation)描述空气流体运动的一个简化微分方程组.1963年，美国气象学家洛伦兹(Lorenz,E. N.)将描述大气热对流的非线 性偏微分方程组通过傅里叶展开，大胆地截断而导 出描述垂直速度、上下温差的展开系数x(t),y(t),z(t)的三维自治动力系统  <ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> :

[[File:lorenz2.gif|200px|thumb|right|洛伦兹吸引子当 r = 28, σ = 10, and b = 8/3 <ref>Daniel Dennett (1995), [https://en.wikipedia.org/wiki/Darwin%27s_Dangerous_Idea Darwin's Dangerous Idea], Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X </ref>]]

[[File:lorenz2.gif|200px|thumb|right|图1：洛伦兹吸引子当 r = 28, σ = 10, and b = 8/3 <ref>Daniel Dennett (1995), [https://en.wikipedia.org/wiki/Darwin%27s_Dangerous_Idea Darwin's Dangerous Idea], Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X </ref>]]

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:: <math>r</math>:为瑞利数

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他发现当r不断增加时，系统就由定常态(表示空气静止)分岔出周期态(表示对流状态)，最后，当r>24. 74时， 又分岔出非周期的混沌态(表示湍流).

他发现当r不断增加时，系统就由定常态(表示空气静止)分岔出周期态(表示对流状态)，最后，当r>24. 74时， 又分岔出非周期的混沌态(表示湍流).

如图是三维相空间的混沌态在二维平面上的投影轨线.从图上 看出，轨线起初在右边从外向内绕圈子，后来随机地跳到左边从外向内绕圈子，后又再次随机地跳回右边绕圈子，……如此左右跳来跳去，每次绕的圈数，何时发生跳跃都是随机的、无规则的. 由于洛伦兹是世界上第一个从确定的方程中发现了非周期的混沌现象，所以将上述方程一般称为洛伦兹方程. <ref>数学辞海第5卷</ref>

如图是三维相空间的混沌态在二维平面上的投影轨线.从图上 看出，轨线起初在右边从外向内绕圈子，后来随机地跳到左边从外向内绕圈子，后又再次随机地跳回右边绕圈子（图1），……如此左右跳来跳去，每次绕的圈数，何时发生跳跃都是随机的、无规则的. 由于洛伦兹是世界上第一个从确定的方程中发现了非周期的混沌现象，所以将上述方程一般称为洛伦兹方程. <ref>数学辞海第5卷</ref>

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|keywords=洛伦兹方程,混沌水车,混沌理论,非线性动力学,蝴蝶效应,洛伦兹吸引子

|keywords=洛伦兹方程,混沌水车,混沌理论,非线性动力学,蝴蝶效应,洛伦兹吸引子

1972 年，洛伦兹在 AAAS 年会上，以“蝴蝶效应”形象阐释了初值敏感性，让混沌概念得以普及。

1972 年，洛伦兹在 AAAS 年会上，以“蝴蝶效应”形象阐释了初值敏感性，让混沌概念得以普及。

1975 年，李天岩与约克的论文首次给出“混沌”的严格数学定义。洛伦兹方程非周期、初值敏感、轨迹有界不重复特征，完全契合混沌定义，确认为首个经典混沌模型。

1975 年，李天岩与约克的论文首次给出“混沌”的严格数学定义。洛伦兹方程非周期、初值敏感、轨迹有界不重复特征，完全契合混沌定义，确认为首个经典混沌模型。

== 数学形式 ==

== 数学形式 ==

=== 混沌水车的由来 ===

=== 混沌水车的由来 ===

1972年，麻省理工学院 Willem Malkus 和 Lou Howard 建造第一台混沌水车，将洛伦兹方程转化为可观测机械系统，将抽象的混沌理论转化为可操作的实验装置。是边缘挂着漏水纸杯，顶部注水、底部漏水的混沌水车。随注水流量增大，依次呈现静止→单向稳定旋转→无规律双向混沌转动的动力学演化<ref>Matson (2007). The Malkus-Lorenz water wheel revisited. American Journal of Physics.</ref>。

1972年，麻省理工学院 Willem Malkus 和 Lou Howard 建造第一台混沌水车，将洛伦兹方程转化为可观测机械系统，将抽象的混沌理论转化为可操作的实验装置。是边缘挂着漏水纸杯，顶部注水、底部漏水的混沌水车。随注水流量增大，依次呈现静止→单向稳定旋转→无规律双向混沌转动的动力学演化<ref>Matson (2007). The Malkus-Lorenz water wheel revisited. American Journal of Physics.</ref>。

[[文件:水车图片1.png|缩略图|最简版本水车模型，引自<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]

[[文件:水车图片1.png|缩略图|图2:最简版本水车模型，引自<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]

1990年代，克里贝尔等人对水车进行了简化，使其走入大学和中学课堂，成为展示混沌现象的经典教学工具。伊林团队通过高精度实验证实水车运动与洛伦兹模型高度吻合，并首次实现了混沌同步，完成了从理论到实验验证的完整闭环。

1990年代，克里贝尔等人对水车进行了简化，使其走入大学和中学课堂，成为展示混沌现象的经典教学工具。伊林团队通过高精度实验证实水车运动与洛伦兹模型高度吻合，并首次实现了混沌同步，完成了从理论到实验验证的完整闭环。

=== 混沌水车与动力学参数关系 ===

=== 混沌水车与动力学参数关系 ===

麻省理工学院现在使用了Malkus的更复杂的装置。水车处于工作台的顶端，在稍微倾斜的平面上旋转(而普通水车是在垂直平面上旋转)。水被抽进一个悬挂的多孔管，然后通过数十个小喷嘴喷出。喷嘴将水引入水车边缘的隔离舱室。舱室是透明的里面的水含食品着色剂，使得边缘处水的分布显而易见。水从每个舱室底部的小洞漏出，然后集中在水车的底部，在那里通过喷嘴再被抽回。系统提供了不断地输人水源。物理结构：圆形转轮 + 周向水槽 + 顶部注水 + 底部漏水 + 自由转动。

麻省理工学院现在使用了Malkus的更复杂的装置。水车处于工作台的顶端，在稍微倾斜的平面上旋转(图2)。水被抽进一个悬挂的多孔管，然后通过数十个小喷嘴喷出。喷嘴将水引入水车边缘的隔离舱室。舱室是透明的里面的水含食品着色剂，使得边缘处水的分布显而易见。水从每个舱室底部的小洞漏出，然后集中在水车的底部，在那里通过喷嘴再被抽回。系统提供了不断地输人水源(图3)。物理结构：圆形转轮 + 周向水槽 + 顶部注水 + 底部漏水 + 自由转动。

[[文件:俯视图.png|缩略图|俯视图，引自Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]

[[文件:侧视图.png|缩略图|图2：侧视图，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]

[[文件:侧视图.png|缩略图|侧视图，引自Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]

[[文件:俯视图.png|缩略图|图3：俯视图，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]

参数具有两种改变方式:可以调节水车上的制动器来增大或减小摩擦，可以通过转动水车上的螺钉来改变水车的倾斜度，这会改变重力的有效强度。物理结构：圆形转轮 + 周向均布水槽 + 顶部连续注水 + 底部连续漏水 + 整体自由转动。

参数(图4)具有两种改变方式:可以调节水车上的制动器来增大或减小摩擦，可以通过转动水车上的螺钉来改变水车的倾斜度，这会改变重力的有效强度。物理结构：圆形转轮 + 周向均布水槽 + 顶部连续注水 + 底部连续漏水 + 整体自由转动。

[[文件:参数.png|缩略图|旋转参数，引自Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]

[[文件:参数.png|缩略图|图4：旋转参数，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]

关键参数：

关键参数：

* <math>\omega(t)</math>：角速度

* <math>\omega(t)</math>：角速度