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===跨尺度因果态和υ-机器===

===跨尺度因果态和υ-机器===

前文已经介绍过因果态和 ϵ-机器。在跨尺度问题里，我们还需要一个跨尺度机器，υ-机器，来专门处理“微观历史预测宏观未来”的对象。

前文已经介绍过因果态和 ϵ-机器。在引入闭合性概念之前，再介绍一种机器，[math]\nu[/math]-机器，它专门处理“微观历史预测宏观未来”。

设微观过程为 <math>X_t</math>，粗粒化后的宏观过程为 <math>Z_t=f(X_t)</math>。宏观的 ϵ-机器是用宏观历史 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 去预测宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>；而 Rosas 等人提出的 υ-机器，则是用微观历史 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 去预测宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>。它在微观历史上定义的等价关系为：

设微观过程为 <math>X_t</math>，粗粒化后的宏观过程为 <math>Z_t=f(X_t)</math>。宏观的 [math]\epsilon[/math]-机器是用宏观历史 <math>\overleftarrow{Z_t}</math> 去预测宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>；而 Rosas 等人提出的[math]\nu[/math]-机器，则是用微观历史 <math>\overleftarrow{X_t}</math> 去预测宏观未来 <math>\overrightarrow{Z_t}</math>。它在微观历史上定义的等价关系为：

{{NumBlk|:|

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|{{EquationRef|5}}}}

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也就是说，若两段微观历史对宏观未来给出的预测分布完全相同，它们就属于同一个跨尺度因果态。把这些等价类记作 <math>U_t=υ(\overleftarrow{X_t})</math>。直观地看，υ-机器保留的是“对宏观未来真正有用的那部分微观信息”，因此可以把它理解为一种面向跨尺度预测的最优压缩。

也就是说，若两段微观历史对宏观未来给出的预测分布完全相同，它们就属于同一个跨尺度因果态。把这些等价类记作 <math>U_t=υ(\overleftarrow{X_t})</math>。直观地看，[math]\nu[/math]-机器保留的是“对宏观未来真正有用的那部分微观信息”，因此可以把它理解为一种面向跨尺度预测的最优压缩。

在给定粗粒化 <math>Z_t=f(X_t)</math> 后，可以同时出现三种相关状态表征：

在给定粗粒化 <math>Z_t=f(X_t)</math> 后，可以同时出现三种相关状态表征：

# 微观 ϵ-机器的因果态 <math>E_t</math>，保留了对微观未来最完整的预测信息；

# 微观 [math]\epsilon[/math]-机器的因果态 <math>E_t</math>，保留了对微观未来最完整的预测信息；

# 宏观 ϵ-机器的因果态 <math>E'_t</math>，只保留宏观历史中的信息；

# 宏观 [math]\epsilon[/math]-机器的因果态 <math>E'_t</math>，只保留宏观历史中的信息；

# 跨尺度 υ-机器的因果态 <math>U_t</math>，保留了微观历史中对宏观未来仍然有用的信息。

# 跨尺度 [math]\nu[/math]-机器的因果态 <math>U_t</math>，保留了微观历史中对宏观未来仍然有用的信息。

 

 

===三种闭合===

===三种闭合===