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第1行： − 从数学形式上看，线性系统通常可以表示为一组'''线性代数方程、线性微分方程或线性差分方程'''。在这些方程中，未知变量、未知函数及其导数只以一次形式出现，不包含未知量之间的乘积、高次幂、指数函数、三角函数等非线性关系。换句话说，线性系统的方程可以写成未知变量或未知函数的线性组合。例如，若两个输入分别产生两个输出，则这两个输入的线性组合也会产生对应输出的线性组合，这正是线性系统区别于非线性系统的核心特征<ref name=":0" />。+ − 需要注意的是，对于线性微分方程而言，判断其是否线性的关键在于'''未知函数及其导数是否线性出现'''。即使方程中的自变量、已知系数或外部输入随时间、空间等因素发生非线性变化，只要未知函数本身及其导数之间不存在乘积、高次项或其他非线性形式，该方程仍然可以称为线性方程。例如，一个系统的参数可以随时间变化，但只要状态变量之间不发生非线性耦合，该系统仍属于线性系统。+ − − 由于线性系统具有结构清晰、数学性质良好、求解方法成熟等特点，它们被广泛应用于工程、物理、控制理论、通信系统和信号处理等领域。许多复杂的实际系统虽然本质上可能是非线性的，但在一定工作范围或小扰动条件下，可以通过线性化方法近似为线性系统，从而便于研究其稳定性、响应特性和控制规律。因此，线性系统不仅是一类重要的数学模型，也是理解、分析和设计复杂系统的基础工具<ref name=":0" /><ref name=":2">H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed. Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice Hall, 2002.</ref>。 − == 定义 == − 在数学中，若一个映射或算子 f(x) 满足以下两个性质，则称其为'''线性映射'''或'''线性算子'''<ref name=":1" />： − − [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }[/math] − − [math]\displaystyle{ f(\alpha x)=\alpha f(x) }[/math] − − 其中，第一个性质称为'''可加性（Additivity）'''，表示两个输入共同作用时的输出等于它们分别作用时输出的和；第二个性质称为'''齐次性（Homogeneity）'''，表示输入按比例放大或缩小时，输出也按相同比例变化。二者合在一起通常称为'''叠加原理（Superposition Principle）<ref name=":0" /><ref name=":1" />'''，即 − − [math]\displaystyle{ f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y) }[/math] − − 因此，线性系统的本质在于：系统的整体响应可以由各个输入或状态变量的局部响应通过线性组合得到。 − − 一般地，若一个系统可以写成 − − [math]\displaystyle{ f(x)=C }[/math] − − 其中 x 表示待求的未知对象，C 为已知项，并且 f(x) 是关于 x 的线性映射，则该系统称为'''线性系统（Linear System）'''；否则称为'''非线性系统（Nonlinear System）'''。当 C=0 时，该系统称为'''齐次线性系统'''；当 C≠0 时，则称为'''非齐次线性系统<ref name=":1" />'''。 − − 这里的 x 可以是非常一般的数学对象，例如数、向量、函数，或满足一定边界条件的函数。因此，f(x) 也可以表示不同类型的线性运算，例如矩阵变换、积分算子、微分算子或差分算子。如果 f(x) 中包含对未知函数 x 的微分运算，则对应的系统就是'''线性微分方程系统'''<ref>W. E. Boyce, R. C. DiPrima, and D. B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2017.</ref>。 − == 动力系统中的线性系统 == 第38行：
第15行： + 第71行：
第49行： − 尽管现实世界中的许多系统具有非线性特征，但线性系统在非线性系统分析中仍然具有基础性作用。一个重要原因是，许多非线性动力系统在平衡点或不动点附近的局部行为，可以通过相应的线性系统近似描述。+
修改了线性系统的一般描述和定义，快速过渡到线性动力系统
在数学中，'''线性系统（Linear System）'''是指系统的输出变化与输入变化成比例，并且系统内部各要素之间满足'''叠加原理（Superposition Principle）'''<ref name=":0">Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab, ''Signals and Systems'', 2nd ed., Prentice Hall, 1997.</ref><ref name=":1">S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed. Cham, Switzerland: Springer, 2015.</ref>的系统。叠加原理包括两个基本性质：'''齐次性'''和'''可加性'''。也就是说，如果某一输入产生某一响应，那么该输入按比例放大或缩小后，系统响应也会按相同比例变化；如果多个输入同时作用于系统，则系统的总响应等于各个输入单独作用时响应的代数和。因此，线性系统的整体行为可以由局部行为组合得到，通常比非线性系统更加直观、规则且易于分析和控制。
在数学中，'''线性系统（Linear System）'''是指系统的输出变化与输入变化成比例，并且系统内部各要素之间满足'''叠加原理（Superposition Principle）'''<ref name=":0">Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab, ''Signals and Systems'', 2nd ed., Prentice Hall, 1997.</ref><ref name=":1">S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed. Cham, Switzerland: Springer, 2015.</ref>的系统。叠加原理包括两个基本性质：'''齐次性'''和'''可加性'''。也就是说，如果某一输入产生某一响应，那么该输入按比例放大或缩小后，系统响应也会按相同比例变化；如果多个输入同时作用于系统，则系统的总响应等于各个输入单独作用时响应的代数和。因此，线性系统的整体行为可以由局部行为组合得到，通常比非线性系统更加直观、规则且易于分析和控制。
当这种线性关系进一步用于描述系统状态随时间的演化时，就得到'''线性动力系统（Linear Dynamical System）'''。与一般线性系统相比，线性动力系统更强调“状态如何变化”以及“当前状态如何决定未来状态”。因此，线性动力系统可以看作线性系统在时间演化问题中的具体形式<ref name=":0" /><ref name=":2">H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed. Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice Hall, 2002.</ref>。
== '''定义''' ==
在动力学语境下，线性系统通常是研究多维连续动力系统的基本起点。一般地，n 维线性常系数微分方程组可以写成如下矩阵形式<ref name=":3">W. E. Boyce, R. C. DiPrima, and D. B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2017.</ref>：
在动力学语境下，线性系统通常是研究多维连续动力系统的基本起点。一般地，n 维线性常系数微分方程组可以写成如下矩阵形式<ref name=":3">W. E. Boyce, R. C. DiPrima, and D. B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2017.</ref>：
其中，x(0) 为初始状态，[math]\displaystyle{ e^{At} }[/math] 为矩阵指数。通过分析矩阵 A 的特征值和特征向量，可以进一步研究系统的稳定性、振荡行为、相轨迹结构以及长期演化趋势<ref name=":3" />。
其中，x(0) 为初始状态，[math]\displaystyle{ e^{At} }[/math] 为矩阵指数。通过分析矩阵 A 的特征值和特征向量，可以进一步研究系统的稳定性、振荡行为、相轨迹结构以及长期演化趋势<ref name=":3" />。
== '''性质''' ==
=== 向量场与相平面 ===
=== 向量场与相平面 ===
==== 向量场：方程的几何映射 ====
==== 向量场：方程的几何映射 ====
因此，二维线性系统不动点的类型可统一由 [math]\displaystyle{ T }[/math]、[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] 以及判别式 [math]\displaystyle{ T^2-4\Delta }[/math] 来决定<ref name=":4" />。[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%8D%E5%8A%A8%E7%82%B9%E5%88%86%E7%B1%BB.png]]
因此，二维线性系统不动点的类型可统一由 [math]\displaystyle{ T }[/math]、[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] 以及判别式 [math]\displaystyle{ T^2-4\Delta }[/math] 来决定<ref name=":4" />。[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%8D%E5%8A%A8%E7%82%B9%E5%88%86%E7%B1%BB.png]]
== 在线性化和非线性系统分析中的作用 ==
== 在线性化和非线性系统分析中的作用 ==
尽管现实世界中的许多系统具有非线性特征，但线性系统在非线性系统分析中仍然具有基础性作用。一个重要原因是，许多非线性动力系统在平衡点或不动点附近的局部行为，可以通过相应的线性动力系统近似描述。
设一个连续时间非线性动力系统<ref name=":4" />为
设一个连续时间非线性动力系统<ref name=":4" />为