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动力系统理论 Dynamical Systems Theory (查看源代码)

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Dynamical systems theory is an area of mathematics used to describe the behavior of the complex dynamical systems, usually by employing differential equations or difference equations. When differential equations are employed, the theory is called continuous dynamical systems. From a physical point of view, continuous dynamical systems is a generalization of classical mechanics, a generalization where the equations of motion are postulated directly and are not constrained to be Euler–Lagrange equations of a least action principle. When difference equations are employed, the theory is called discrete dynamical systems. When the time variable runs over a set that is discrete over some intervals and continuous over other intervals or is any arbitrary time-set such as a cantor set, one gets dynamic equations on time scales. Some situations may also be modeled by mixed operators, such as differential-difference equations.

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'''动力系统理论（Dynamical Systems Theory）'''是一个用来描述复杂动力系统行为的数学领域，通常使用微分方程或差分方程。当采用微分方程时，该理论被称为连续动力系统。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，是运动方程的推广，不受极小作用原理Euler–Lagrange方程的约束。当采用差分方程时，该理论被称为离散动力系统。当时间变量在一个离散的集合上运行，在另一个离散的集合上连续，或者像cantor集一样在任意的时间集合上运行时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。有些情况也可以用混合算子来建模，如微分-差分方程。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）感觉很棒，在翻译的过程中添加了自己的思考

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'''动力系统理论（Dynamical Systems Theory）'''是一个用来描述复杂动力系统行为的数学领域，通常使用微分方程或差分方程。当采用微分方程时，该理论被称为连续动力系统。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，也是运动方程的推广，不受极小作用原理Euler–Lagrange方程的约束。当采用差分方程时，该理论被称为离散动力系统。当时间变量在一个离散的集合上运行，在另一个离散的集合上连续，或者像cantor（康托尔）集一样在任意的时间集合上运行时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。有些情况也可以用混合算子来建模，如微分-差分方程。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）专有术语的基本格式不需要加括号 '''动力系统理论 Dynamical Systems Theory''' 夏彤进行一下修改

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）这里可以补充一下混合算子的定义

第17行：第19行：

这个理论处理动力系统的长期定性行为。如果能够得到解的话，还可以研究系统的运动方程。这些方程通常主要是机械的或物理的，如行星轨道和电子电路，以及出现在生物学，经济学和其他地方的系统。现代的研究大多集中在对混沌系统的研究上。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）这些方程通常主要是机械的或物理的 → 这些方程通常运用到机械或物理研究领域

This field of study is also called just ''dynamical systems'', ''mathematical dynamical systems theory'' or the ''mathematical theory of dynamical systems''.

第49行：第51行：

描述给定动力系统的不动点或'''定态（Steady States）'''是一个重要的目标。不动点或定态的变量值不会随时间的变化而变化。一些不动点是有吸引力的（attractive），即如果系统的初始值在它的附近，系统最终共会收敛到这个不动点。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）系统最终共会收敛到这个不动点 “共”字是否考虑去掉

第86行：第88行：

Some excellent presentations of mathematical dynamic system theory include {{harvtxt|Beltrami|1990}}, {{harvtxt|Luenberger|1979}}, {{harvtxt|Padulo|Arbib|1974}}, and {{harvtxt|Strogatz|1994}}.<ref>Jerome R. Busemeyer (2008), [http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html "Dynamic Systems"]. To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008. {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080613053119/http://www.cogs.indiana.edu/Publications/techreps2000/241/241.html |date=June 13, 2008 }}</ref>

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Some excellent presentations of mathematical dynamic system theory include , , , and .

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Some excellent presentations of mathematical dynamic system theory include , , , and . To Appear in: ''Encyclopedia of cognitive science'', Macmillan. Retrieved 8 May 2008

优秀的数学动力系统理论包括，，，和。--[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|需要原文]]）。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）了解会询问一下词源那边

== Concepts 概念==

第110行：第113行：

A dynamical system has a state determined by a collection of real numbers, or more generally by a set of points in an appropriate state space. Small changes in the state of the system correspond to small changes in the numbers. The numbers are also the coordinates of a geometrical space—a manifold. The evolution rule of the dynamical system is a fixed rule that describes what future states follow from the current state. The rule may be deterministic (for a given time interval only one future state follows from the current state) or stochastic (the evolution of the state is subject to random shocks).

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动力系统的状态是由一组实数决定的，更广泛地说，是由适当的状态空间中的一组点决定的。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——'''流形（Manifold）'''——的坐标系（coordinates ）--[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|这里翻译为坐标还是坐标系更好一点？]]~~）。动力系统的演化是描述了在当前状态之后出现的未来状态的固定规则。这个规则可以是确定性的~~(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

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动力系统的状态是由一组实数决定的，更广泛地说，是由适当的状态空间中的一组点决定的。系统状态的微小变化对应于数字的变化。这些数字也是几何空间——'''流形（Manifold）'''——的坐标系（coordinates ）--[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|这里翻译为坐标还是坐标系更好一点？]]）。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）按照之前的说法由适当的状态空间中的一组点感觉坐标更贴切或者译为坐标组（一组包含很多的坐标点）

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动力系统的演化是描述了在当前状态之后出现的未来状态的固定规则。这个规则可以是确定性的(在给定的时间间隔内，有且仅有一个未来状态在当前状态之后出现)，或随机性的(状态的演化受到随机因素的影响)。

=== Dynamicism 动态主义===

第143行：第148行：

'''算术动态系统(Arithmetic Dynamics)'''是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究复平面或实直线的自映射的迭代。算术动态系统研究内容是在多项式或有理函数中的整数、有理数、并元 --[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|找不到原文]]）和/或代数点的数论性质。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）了解

第181行：第187行：

'''控制理论(Control Theory)'''是工程和数学的一个交叉学科，它的其中一部分研究影响动力系统行为的各种因素。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）单独小词条可以考虑补充一下内容

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）添加补充内容：

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控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学（社会学中的控制理论）、犯罪学及金融系统（英语：financial system）。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。设定值一般维持不变的控制称为调节，设定值快速变化，要求跟踪速度加速度等的控制称为伺服。它的其中一部分研究影响动力系统行为的各种因素。

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第191行：第202行：

'''遍历理论(Ergodic Theory)'''是数学的一个分支，研究有不变测度相关问题的动力系统。它最初的发展受到了统计物理学的推动。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）百度百科简单补充：遍历理论是研究保测变换的渐近性态的数学分支。它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

第201行：第213行：

'''泛函分析(Functional analysis)'''是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，和数学家Stefan Banach。

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第220行：第231行：

'''投影动力系统(Projected Dynamical Systems)'''是研究解在一个约束集内的动力系统行为的数学理论。这门学科与静态世界中的最优化和平衡问题以及动态世界中的常微分方程都有联系，并且都有相互联系的应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的'''流行(flow)'''给定的--[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|这句话的数学原理对我来说过于深奥，因此不确定翻译的内容对不对]]）。

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--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） wiki上搜索该名词后的补充

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通过对投影微分方程的流分析，给出了一个投影动力系统的表达式：

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:<math>

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\frac{dx(t)}{dt} = \Pi_K(x(t),-F(x(t)))

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</math>

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其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而值得注意。

第290行：第307行：

在运动生物力学中，动力系统理论新兴地成为对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络（如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等）组成的，它们由大量相互作用的部分组成（包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念相关的任何主张。--[[用户:嘉树|嘉树]]（[[用户讨论:嘉树|没有研究证实？那就是说不可信吗？所以这个文本的意思是什么。]]）

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---[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）这个我问一下词源

第300行：第317行：

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的'''新皮亚杰学派(neo-Piagetian)'''中。人们相信，物理学理论比句法学理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该(或者是)(通过微分方程)描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

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第329行：第347行：

动力系统理论在二语习得研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，二语习得应该被看作是一个包括语言流失和习得在内的发展过程。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

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== See also 参见==

趣木木

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