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→量子概率运算法则
[[File:xtzdgcz3_5g.gif|center|thumb|图3-5 描述粒子行为的马尔科夫链]]<br>
[[File:xtzdgcz3_5g.gif|center|thumb|图3-5 描述粒子行为的马尔科夫链]]<br>
设电子（经典粒子）从O点飞出，以P<sub>OA</sub>的概率飞到A点或者以P<sub>OB</sub>的概率飞到B点，然后再以概率P<sub>AC</sub>飞到C点或者以P<sub>AD</sub>的概率飞到不是C的点（我们暂且称之为D点）。那么，我们在C点发现电子的概率就应该是：<br>
设电子（经典粒子）从O点飞出，以P<sub>OA</sub>的概率飞到A点或者以P<sub>OB</sub>的概率飞到B点，然后再以概率P<sub>AC</sub>飞到C点或者以P<sub>AD</sub>的概率飞到不是C的点（我们暂且称之为D点）。那么，我们在C点发现电子的概率就应该是：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_6g.gif]] (1)</center><br>
:<math>P_{C} = P_{OA}P_{OC}+P_{OB}P_{BC}</math> (1)<br>
假设电子可以源源不断地从O点飞出经过A或者B再打到C或者D点上。这个时候我们在A点放置一个探测器来测量电子到达A点的概率。<br>
假设电子可以源源不断地从O点飞出经过A或者B再打到C或者D点上。这个时候我们在A点放置一个探测器来测量电子到达A点的概率。<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_7g.gif]] (2)</center><br>
:<math>P_{A} = P_{OA}</math> (2)<br>
由于电子是经典粒子，所以观测电子的行为不会干扰最终在C点观测到电子的最终结果，因此电子到达C点的概率仍然是（1）式。<br>
由于电子是经典粒子，所以观测电子的行为不会干扰最终在C点观测到电子的最终结果，因此电子到达C点的概率仍然是（1）式。<br>
下面，我们进入了量子概率的世界（关于这部分运算，请参考[https://book.douban.com/subject/1683152/ 《费曼物理学讲义3》]和[https://book.douban.com/subject/1155470/ 《量子计算和量子信息（一）》]）。首先，对于电子量子的行为，我们仍然可以用类似的图形表示：<br>
下面，我们进入了量子概率的世界（关于这部分运算，请参考[https://book.douban.com/subject/1683152/ 《费曼物理学讲义3》]和[https://book.douban.com/subject/1155470/ 《量子计算和量子信息（一）》]）。首先，对于电子量子的行为，我们仍然可以用类似的图形表示：<br>
<center>图3-6 描述量子行为的复数概率图</center><br>
<center>图3-6 描述量子行为的复数概率图</center><br>
与上图的不同之处就在于所有边上的条件概率都不再是一个[0,1]内的实数，而是一个复数，也就是这些条件“概率”可以写成复数的形式：<br>
与上图的不同之处就在于所有边上的条件概率都不再是一个[0,1]内的实数，而是一个复数，也就是这些条件“概率”可以写成复数的形式：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_9g.gif]] (3)</center><br>
:<math>\Psi = a +bi</math> (3)<br>
这些复数“概率”有一个学名叫做概率波振幅。你一定会好奇怪，为什么要写成复数呢？a和b分别表示什么意思？i又表示什么意思？对不起，估计没有人知道这个问题的答案，这恰恰就是量子力学困惑那么多物理、数学大师的地方所在。不管怎么样，物理学家告诉我们，只要你假设电子的概率可以取复数，那么概率的那些运算法则对概率波振幅都成立。比如，我们可以计算出电子到达C点的概率波振幅：<br>
这些复数“概率”有一个学名叫做概率波振幅。你一定会好奇怪，为什么要写成复数呢？a和b分别表示什么意思？i又表示什么意思？对不起，估计没有人知道这个问题的答案，这恰恰就是量子力学困惑那么多物理、数学大师的地方所在。不管怎么样，物理学家告诉我们，只要你假设电子的概率可以取复数，那么概率的那些运算法则对概率波振幅都成立。比如，我们可以计算出电子到达C点的概率波振幅：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_10g.gif]] (4)</center><br>
:<math>\Psi_{C}=\Psi_{OA}\Psi_{AC}+\Psi_{OB}\Psi_{BC}</math> (4)<br>
量子力学还告诉我们，这个概率波振幅虽然满足概率运算的一切法则，可我们并不能直接观测到它，而只能间接地通过概率推测出它来。也就是说，我们在C点观测电子的概率是C点概率波振幅这个复数的模的平方，即：<br>
量子力学还告诉我们，这个概率波振幅虽然满足概率运算的一切法则，可我们并不能直接观测到它，而只能间接地通过概率推测出它来。也就是说，我们在C点观测电子的概率是C点概率波振幅这个复数的模的平方，即：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_11g.gif]] (5)</center><br>
:<math>P_{C} = \mid \Psi_{C}\mid ^{2}</math> (5)<br>
让我们再来考虑在A点对电子的观测行为。首先，我们在A点观测到电子的概率是：<br>
让我们再来考虑在A点对电子的观测行为。首先，我们在A点观测到电子的概率是：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_12g.gif]] (6)</center><br>
:<math>P_{A} = \mid \Psi_{OA}\mid ^{2}</math> (6)<br>
其次，量子力学还告诉我们，一旦我们知道了电子到达A点的概率，电子的状态就会发生严重的扭曲变形（也就是观测行为会影响电子的状态），使得电子在整个行程中的状态都会发生变化。当在A点观测到电子的时候（概率是P<sub>A</sub>），概率图转变成(a)的情况，当在B点（概率是P<sub>B</sub>）观测到电子的时候概率图变成(b)的情况。<br>
其次，量子力学还告诉我们，一旦我们知道了电子到达A点的概率，电子的状态就会发生严重的扭曲变形（也就是观测行为会影响电子的状态），使得电子在整个行程中的状态都会发生变化。当在A点观测到电子的时候（概率是P<sub>A</sub>），概率图转变成(a)的情况，当在B点（概率是P<sub>B</sub>）观测到电子的时候概率图变成(b)的情况。<br>
[[File:xtzdgcz3_13.jpg|center|thumb|图3-7 观测后的两张图|500px]]<br>
[[File:xtzdgcz3_13.jpg|center|thumb|图3-7 观测后的两张图|500px]]<br>
这样，综合(a)、(b)两种情况，只要在A,B发生测量，那么在C点观测到电子的概率就变为：<br>
这样，综合(a)、(b)两种情况，只要在A,B发生测量，那么在C点观测到电子的概率就变为：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_15g.gif]] (7)</center><br>
:<math>P_{C} =P_{A}\frac{\mid \Psi_{OA}\Psi_{AC}\mid ^{2}}{\mid \Psi_{OA}\mid ^{2}}+P_{B}\frac{\mid \Psi_{OB}\Psi_{BC}\mid ^{2}}{\mid \Psi_{OA}\mid ^{2}}=\mid \Psi_{OA}\Psi_{AC}\mid ^{2}+\mid \Psi_{OB}\Psi_{BC}\mid ^{2}</math> (7)</center><br>
这样，对于任意的四个复数[[File:xtzdgcz3_15gg.gif]] 有：<br>
这样，对于任意的四个复数[[File:xtzdgcz3_15gg.gif]] 有：<br>
<center>[[File:xtzdgcz3_16g.gif]] (8)</center><br>
<center>[[File:xtzdgcz3_16g.gif]] (8)</center><br>