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我们一般在欧式空间Euclidean space或希尔伯特空间Hilbert space中考虑动力系统，这两种空间均为度量空间。

我们一般在欧式空间Euclidean space或希尔伯特空间Hilbert space中考虑动力系统，这两种空间均为度量空间。

考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被(Devaney, 2003)定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:

考虑度量空间<math>(M,d)</math>中动力系统<math>f^t:M \to M</math>，其把初始状态<math>x_0\in M</math>映射为$t>0$时刻的系统状态<math>x_t\in M</math>。动力系统的初始条件敏感依赖性被<ref>Devaney, R. (2003). An introduction to chaotic dynamical systems. Westview press.</ref>定义为，存在正数<math>\delta >0</math> 满足：对于任意 <math>x\in M</math>以及<math>x</math>的任意邻域<math>N(x)</math>都存在<math>t\geq 0</math>以及<math>y\in N(x)</math> 满足:

<math>d(f^t(x),f^t(y))>\delta</math>.

<math>d(f^t(x),f^t(y))>\delta</math>.

由此我们可以得知，初始条件敏感依赖性，并没有约束系统的长期行为是不是趋近于某一平衡态或者周期轨道；而仅仅要求了，任意从任意两个任意接近的初始状态出发，系统的两条演化轨迹在一定时间内快速分开。

由此我们可以得知，初始条件敏感依赖性，并没有约束系统的长期行为是不是趋近于某一平衡态或者周期轨道；而仅仅要求了，任意从任意两个任意接近的初始状态出发，系统的两条演化轨迹在一定时间内快速分开。

于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅(Strogatz, 2018)第329-330页的例子，以及(Lighthill, 1986)中的精彩讨论。

于是，对于具有初始条件敏感依赖性的系统（如天气系统），由于无法完全准确地测量和初始条件，以及仿真计算系统的演化，因此我们难以进行超过特定时间范围的预测，例如对于天气预测暂时无法超过一个月。不仅如此，李雅普诺夫指数还反映出，误差在一定范围内是指数增加的。这也意味着，只有我们的测量精度和计算精度指数增长，我们能预测的时长才只能线性增长。参阅<ref>Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.</ref>的例子，以及<ref>Lighthill, M. J. (1986). The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 407(1832), 35-50.</ref>中的精彩讨论。

当然，对于既不发散也不收敛、初始条件敏感、非周期变化、确定性混沌系统而言，这样的误差一般不是无限指数增加的，而是会有个限度。对于存在奇怪吸引子 strange attractor的混沌系统，例如洛伦茨发现的系统(Tucker, 1999)，其最大误差不会大于奇怪吸引子的直径。对于给定动力系统的李雅普诺夫指数计算，参阅(Strogatz, 2018)第373-376页。

当然，对于既不发散也不收敛、初始条件敏感、非周期变化、确定性混沌系统而言，这样的误差一般不是无限指数增加的，而是会有个限度。对于存在奇怪吸引子 strange attractor的混沌系统，例如洛伦茨发现的系统<ref>Tucker, W. (1999). The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197-1202.</ref>，其最大误差不会大于奇怪吸引子的直径。对于给定动力系统的李雅普诺夫指数计算<ref> Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos with student solutions manual: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.</ref>。

== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==

== 洛伦茨系统演化的仿真图示 ==