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→沙堆群
==沙堆群==
==沙堆群==
给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非沉没顶点崩塌，直到没有不稳定的非汇顶点保留，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沿顶点方向添加颗粒，然后稳定得到的沙堆。<font color="#ff8000">corresponding to the vertex-wise addition of grains followed by the stabilization of the resulting sandpile.</font>
给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌，直到没有剩下稳定的非汇顶点，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。<font color="#ff8000">corresponding to the vertex-wise addition of grains followed by the stabilization of the resulting sandpile.</font>
给定一个任意但固定的非吸收顶点的顺序，进行多个崩塌操作，可以通过使用拉普拉斯矩阵<math>\Delta=D-A</math>高效地编码不稳定构型的稳定过程中的多个崩塌操作，其中<math>D</math>是图的度矩阵，<math>A</math>是图的[[邻接矩阵]]。
删除与吸收顶点相对应的 <math>\Delta</math>的行和列，得到简化的图拉普拉斯矩阵 <math>\Delta'</math>。然后，当以一个构型<math>z</math> 开始，并将各个顶点<math>v</math>进行总共<math>\mathbf{x}(v)\in\mathbb{N}_0</math>次的崩塌操作时，产生<math>z-\Delta'\boldsymbol{\cdot}~\mathbf{x}</math>构型，其中<math>\boldsymbol{\cdot}</math>是收缩积。此外，如果 <math>\mathbf{x}</math> 对应于在给定构型<math>z</math>的稳定过程中每个顶点产生崩塌的次数，则
:<math>z^\circ=z-\Delta'\boldsymbol{\cdot}~\mathbf{x}</math>
:<math>z^\circ=z-\Delta'\boldsymbol{\cdot}~\mathbf{x}</math>
在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为崩塌或<math>z</math>的稳定过程的计程仪函数 <font color="#ff8000">odometer function</font>。
在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为<math>z</math>的稳定过程的崩塌或计程函数 <font color="#ff8000">odometer function</font>。
在<math>*</math>运算下，递归构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群。对于 <math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括沉没顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和循环）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于循环构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>
在<math>*</math>运算下，递归构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群。对于 <math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和循环）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于循环构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>