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→沙堆群
在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>
在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。
由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。
由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。