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伊辛模型 Ising Models 是用来解释铁磁系统相变的一个简单模型，通过将磁铁受热过程中的相互作用情况简化为以为的线性箭头矢链，其中每个箭头都恩能感应到左右两个相邻箭头的影响，从来来解决磁铁受热相变过程中的细节问题。在通过科学家们多年的探索之后，人们逐渐认识到了它作为[[相变模型]]的普适性，且发现，伊辛模型可以用来对几乎所有有趣的热力学现象进行建模，包括在物理之外的其他学科中。
伊辛模型 Ising Models 是用来解释铁磁系统相变的一个简单模型，通过将磁铁受热过程中的相互作用情况简化为以为的线性箭头矢链，其中每个箭头都恩能感应到左右两个相邻箭头的影响，从来来解决磁铁受热相变过程中的细节问题。在通过科学家们多年的探索之后，人们逐渐认识到了它作为[[相变模型]]的普适性，且发现，伊辛模型可以用来对几乎所有有趣的热力学现象进行建模，包括在物理之外的其他学科中。
==Ising模型简介==
==伊辛模型简介==
可以毫不夸张地说，伊辛模型是[[统计物理]]中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。
伊辛模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续[[相变]]（也叫二级[[相变]]）。伊辛模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度<math>T_C</math>的时候，伊辛模型表现出一系列[[幂律]]行为和[[自相似]]现象。
由于伊辛模型的高度抽象，人们可以很容易地将它应用到其他领域之中。例如，人们将每个小磁针比喻为某个村落中的村民，而将小磁针上、下的两种状态比喻成个体所具备的两种政治观点（例如对A,B两个不同候选人的选举），相邻小磁针之间的相互作用比喻成村民之间观点的影响。环境的温度比喻成每个村民对自己意见不坚持的程度。这样，整个伊辛模型就可以建模该村落中不同政治见解的动态演化（即观点动力学 opinion dynamics）。在[[社会科学]]中，人们已经将伊辛模型应用于股票市场、种族隔离、政治选择等不同的问题。另一方面，如果将小磁针比喻成神经元细胞，向上向下的状态比喻成神经元的激活与抑制，小磁针的相互作用比喻成神经元之间的信号传导，那么，伊辛模型的变种还可以用来建模神经网络系统，从而搭建可适应环境、不断学习的机器（[[Hopfield网络]]或[[玻尔兹曼机]]）。
==Ising模型简史==
伊辛模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的[[临界现象]]。所谓的临界现象，是指系统在[[相变]]临界点附近的时候表现出的一系列的[[标度现象]] Scaling phenomena，以及系统在不同尺度之间的相似性。临界系统之中不同组成部分之间还会发生长程的关联，这种通过局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，如社会、经济、认知神经系统的复杂性所在。因此，伊辛模型不仅仅是一个统计物理模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范。
==伊辛模型简史==
伊辛模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst 伊辛对一维的伊辛模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。随后，著名的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的伊辛模型进行了解析求解，并同时发现了二维伊辛模型中的相变现象，从而引起了更多学者的注意。之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了伊辛模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的“[[统计场论]]”
==模型表述==
==模型表述==
考虑一个如下图所示的晶格世界:
考虑一个如下图所示的晶格世界:
===网格上的小磁针===
===网格上的小磁针===
[[File:Ising.png||Ising模型示例|center]]
[[File:伊辛.png||伊辛模型示例|center]]
假设第<math>i</math>个节点是一个小磁针（或者一个村民），每个小磁针有上下两种状态（村民有上,下两种意见），我们用<math>s_i</math>来表示这个状态，并且
假设第<math>i</math>个节点是一个小磁针（或者一个村民），每个小磁针有上下两种状态（村民有上,下两种意见），我们用<math>s_i</math>来表示这个状态，并且
这样，整个伊辛模型就有两个外生给定的参数<math>T,H</math>来表示环境的温度和磁场强度。在村民的比喻中,温度相当于村民进行观点选择的自由程度，温度越高，村民选择观点越随机，而不受自己周围邻居的影响；否则村民的选择严重依赖于邻居和媒体宣传。
====具体算法====
====具体算法====
下面我们来讨论伊辛模型的计算机模拟。有趣的是，伊辛模型的模拟方法与我们熟悉的模拟方法很不同，它并没有为每个小磁针制定状态转变的规则，而是先让每个小磁针的状态发生随机变化，再根据能量来依概率接受这种状态变化。
在玻尔兹曼分布中，每个状态组合出现的概率将会与该状态组合下的总能量的负值呈现指数关系。也就是说，能量越小，该状态组合的出现概率也就越大。反之，出现概率会随着能量增加而快速衰减。并且温度T会对衰减速度起到调节作用。这里出现概率的具体含义是指：如果针对同样参数和初始条件的伊辛模型进行多次重复试验。运行很长时间后，我们观察这些伊辛模型处于什么样的状态组合，则某一状态组合在若干实验中的出现频率会接近波尔兹曼分布。用统计物理的术语来说，这些试验就称为一个[[系综]]。
因为已知在现实的铁磁物质中，系统与环境的热交换构成了一个统计物理中的[[正则系统]]，系统最终会达到玻尔兹曼分布的状态，所以为了模拟真实的铁磁物质，Ising模型也应该达到这个稳态分布。我们可以从数学上证明，上述随机过程的稳态分布就是根据统计力学计算出来的分布结果。这种模拟方法就是Ising模型的[[马尔科夫链-蒙特卡罗模拟]]方法 Markov Chain Monte Carlo(MCMC），也叫做[[Metropolis-Hastings算法]]。
因为已知在现实的铁磁物质中，系统与环境的热交换构成了一个统计物理中的[[正则系统]]，系统最终会达到玻尔兹曼分布的状态，所以为了模拟真实的铁磁物质，伊辛模型也应该达到这个稳态分布。我们可以从数学上证明，上述随机过程的稳态分布就是根据统计力学计算出来的分布结果。这种模拟方法就是伊辛模型的[[马尔科夫链-蒙特卡罗模拟]]方法 Markov Chain Monte Carlo(MCMC），也叫做[[Metropolis-Hastings算法]]。
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首先，我们可以将+1对应为黑色，-1对应为白色，从而用图表示出在不同温度下系统达到稳态的模拟结果，如下图：
首先，我们可以将+1对应为黑色，-1对应为白色，从而用图表示出在不同温度下系统达到稳态的模拟结果，如下图：
[[File:Isingresult.png||ISING Model Simulation|center]]
[[File:伊辛result.png||伊辛 Model Simulation|center]]
在图中，不同的行对应了不同的温度值。第一行的温度<math>T>T_C</math>，第二行<math>T\approx T_C</math>，第三行<math>T<T_C</math>。其中，<math>T_C</math>为临界温度，我们将在后面介绍如何计算该数值。当温度小于临界值的时候，Ising模型中大多数磁针都取相同的颜色，系统处于较为秩序的状态。当温度大于临界值的时候，每个小磁针的颜色会比较混乱无序，系统处于随机的状态。而当温度接近临界的时候，系统的运行介于随机与秩序之间，也就是进入了[[混沌边缘]]地带。我们将这种状态称为[[临界状态]]。
在图中，不同的行对应了不同的温度值。第一行的温度<math>T>T_C</math>，第二行<math>T\approx T_C</math>，第三行<math>T<T_C</math>。其中，<math>T_C</math>为临界温度，我们将在后面介绍如何计算该数值。当温度小于临界值的时候，伊辛模型中大多数磁针都取相同的颜色，系统处于较为秩序的状态。当温度大于临界值的时候，每个小磁针的颜色会比较混乱无序，系统处于随机的状态。而当温度接近临界的时候，系统的运行介于随机与秩序之间，也就是进入了[[混沌边缘]]地带。我们将这种状态称为[[临界状态]]。
===热力学量===
===热力学量===
除了从图形定性地看出伊辛模型的运行以外，我们还可以研究模型的热力学性质，从而考察这些宏观量在稳态条件下如何依赖于参数，并与实验结果进行比较。以下结果都是对2维伊辛模型的模拟或计算结果。
其中<math>d</math>为Ising模型所在空间的维度，<math>\eta</math>为幂律指数。幂律衰减会比指数衰减慢很多，这也就意味着两磁针之间的关联长度会很长。假如我们仍然用指数函数来拟合相关性的衰减，即假设<math>g(r_{ij})\sim \exp(-r/r_0)</math>在临界温度的时候仍然成立,那么<math>r_0</math>就可以写为：
其中<math>d</math>为伊辛模型所在空间的维度，<math>\eta</math>为幂律指数。幂律衰减会比指数衰减慢很多，这也就意味着两磁针之间的关联长度会很长。假如我们仍然用指数函数来拟合相关性的衰减，即假设<math>g(r_{ij})\sim \exp(-r/r_0)</math>在临界温度的时候仍然成立,那么<math>r_0</math>就可以写为：
===临界相变===
===临界相变===
通过上述的讨论，我们已经对伊辛模型的提出、模拟办法以及得到的一系列模拟、计算结果进行了粗略的介绍。我们看到，伊辛模型的美妙之处就在于从一个相对简单而干净的模型出发，仅通过两个自由参数<math>H</math>和<math>T</math>，就可以复制出真实铁磁物质的相变行为。尤其是当系统处于临界参数的时候，即温度<math>T=T_C</math>，外界磁场强度H为0，系统展现出来的是[[二级相变]]（[[连续相变]]）。系统一切宏观热力学量都展现出标度行为，我们将这种特殊的相变称为[[临界相变]]，而将系统所体现出来的标度（幂律）行为、长程相关等现象统称为[[临界现象]]。
[[临界现象]]不仅仅是ISING模型、铁磁物质所独有的，它具有相当的普遍性。它会在很多复杂系统中体现出来，例如气-液相变过程、湍流，甚至股票市场、经济系统等。临界系统体现出的一个重要特征就是：自相似性和长关联性。Ising模型临界状态模拟图如下：
[[临界现象]]不仅仅是伊辛模型、铁磁物质所独有的，它具有相当的普遍性。它会在很多复杂系统中体现出来，例如气-液相变过程、湍流，甚至股票市场、经济系统等。临界系统体现出的一个重要特征就是：自相似性和长关联性。伊辛模型临界状态模拟图如下：
[[File:Isingresult2.png|center|临界状态下的ISING模型]]
[[File:伊辛result2.png|center|临界状态下的伊辛模型]]
这是在外场<math>H=0</math>，温度刚好等于临界温度的时候各个小磁针构成的一个构型。该图中，同一种颜色（即状态一致）的小磁针形成了彼此连通的团簇。这些团簇的尺寸有大有小。单独一个团簇具有一定的自相似性，它构成了一个[[分形]]。并且团簇的形态会在多个尺度重现类似的模式。假如我们将系统放大或者缩小，我们将无法分辨出不同之处，这就是[[无标度]]性这个名词的来源。
这是在外场<math>H=0</math>，温度刚好等于临界温度的时候各个小磁针构成的一个构型。该图中，同一种颜色（即状态一致）的小磁针形成了彼此连通的团簇。这些团簇的尺寸有大有小。单独一个团簇具有一定的自相似性，它构成了一个[[分形]]。并且团簇的形态会在多个尺度重现类似的模式。假如我们将系统放大或者缩小，我们将无法分辨出不同之处，这就是[[无标度]]性这个名词的来源。
当系统处于临界状态的时候，它的行为会呈现出一定的普适性。即无论系统的微观作用规则如何，系统的临界参数、各种热力学量的临界指数（如<math>\alpha,\beta,\gamma</math>等）都相同。因此，人们将具有相同临界指数的模型类划分为普适类。拿Ising模型来说，无论Ising模型位于什么样的空间中（例如四方晶格、六角格、三角格等），它们的微观规则也可能略有不同，但是，所有这些Ising模型都属于同一个普适类，也就是说它们具有相同的临界温度和临界指数。
当系统处于临界状态的时候，它的行为会呈现出一定的普适性。即无论系统的微观作用规则如何，系统的临界参数、各种热力学量的临界指数（如<math>\alpha,\beta,\gamma</math>等）都相同。因此，人们将具有相同临界指数的模型类划分为普适类。拿伊辛模型来说，无论伊辛模型位于什么样的空间中（例如四方晶格、六角格、三角格等），它们的微观规则也可能略有不同，但是，所有这些伊辛模型都属于同一个普适类，也就是说它们具有相同的临界温度和临界指数。
另外一个表现出临界行为以及临界相变的简单例子就是[[渗流模型]]。
另外一个表现出临界行为以及临界相变的简单例子就是[[渗流模型]]。
===Ising模型的重整化===
===伊辛模型的重整化===
目前，求解伊辛模型的方法主要包括：模型的解析求解、[[平均场近似]]的方法、Landau的近似方法、以及[[重正化群]]的方法等。其中，[[重正化群]]方法与众不同，它是直接从模型达到临界后所展现出来的自相似性出发，写出重正化方程以及重正化算符。那么临界温度和各种临界指数就可以从该算符的线性化中求出。更有趣的是，由重正化群技术出发，我们自然可以得出所谓的“普适类”的概念：即存在一类伊辛模型，虽然他们的微观规则很不相同，但是却具有相似的临界指数。实际上，这些模型都处于同一个普适类曲面上，即它们经过无穷多次重正化操作后都会收敛到相同的不动点。
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==更多应用==
==更多应用==
伊辛模型目前应用非常广泛。本小节主要从社会科学和神经科学这两个方面介绍它的应用。
===投票模型 Voter Model===
===投票模型 Voter Model===
在社会科学应用方面，我们主要介绍一个叫做投票的模型。假设有一个村落，每家每户都规则地排列在一个网格上。每个人都有自己的政治观点，假设第i个村民的政治观点是<math>s_i</math>，其中<math>s_i</math>可以在有限状态集合V中取值。我们用不同的颜色来表示不同人的政治观点，如下图所示：
在社会科学应用方面，我们主要介绍一个叫做投票的模型。假设有一个村落，每家每户都规则地排列在一个网格上。每个人都有自己的政治观点，假设第i个村民的政治观点是<math>s_i</math>，其中<math>s_i</math>可以在有限状态集合V中取值。我们用不同的颜色来表示不同人的政治观点，如下图所示：
然而，如果我们稍作变化，只要每个村民在每个周期都会有一个小概率v发生政治观点的随机变化（并不拷贝邻居的颜色）。那么这个系统就将持续演化下去，不会停留在固定的状态上。不难看出，在这种改进的模型中，Voter模型与伊辛模型很相似。其中，村民拷贝邻居的观点相当于伊辛模型中，小磁针朝能量减小的方向演化。而每个村民按小概率v发生观点随机变化就相当于环境噪声的影响。如果适当地选择v参数的大小，Voter模型将会达到和伊辛模型类似的效果，即存在着临界的概率<math>v_C</math>，使得系统处于临界状态。与伊辛模型不同的是每个村民的状态取值可以更多。
对比Voter模型和伊辛模型不难发现，Voter模型中并不存在能量，但是给出了每个微观个体状态转变的具体规则，而在伊辛模型中，单个小磁针的状态改变没有具体的规则，但是系统整体定义了总能量，于是只有那些可以使得总能量变小的微观个体转变才更容易被接受。当运行起来以后，Voter模型与伊辛具有相似的行为，这意味着这两种状态更新方式存在着一定的等价性。我们看到，Voter模型中每个村民拷贝某个邻居的观点相当于使得这两个格点的状态乘积尽量等于1（当有+1,-1两个状态的时候），也相当于降低系统整体的能量。反过来，要想降低伊辛模型中的总能量，一种明智的方法就是使得两个相邻格点的小磁针状态一致。由此可见，这两种模型存在着天然的对应。也意味着，我们可以定义Voter模型的能量函数，也可以为伊辛模型指定微观演化的规则。
与此类似的社会学模型还有很多，例如著名经济学诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling的[[种族隔离模型]]也是一个类似的温度<math>T=0</math>的Ising模型。种族隔离模型假设一个街区中随机分布着两种肤色的人，例如黑人和白人。假如一个黑人周围的白人过多，则黑人会搬家（移动到周边的方格），否则如果白人周围是黑人，他也会搬家。这样经过足够长时间的演化，系统将形成不同的肤色的区块。这个模型与Ising模型有很多相似的地方。
与此类似的社会学模型还有很多，例如著名经济学诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling的[[种族隔离模型]]也是一个类似的温度<math>T=0</math>的伊辛模型。种族隔离模型假设一个街区中随机分布着两种肤色的人，例如黑人和白人。假如一个黑人周围的白人过多，则黑人会搬家（移动到周边的方格），否则如果白人周围是黑人，他也会搬家。这样经过足够长时间的演化，系统将形成不同的肤色的区块。这个模型与伊辛模型有很多相似的地方。
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===Hopfield神经网络模型===
===Hopfield神经网络模型===
伊辛模型的一个显著的性质就是，随着系统的演化，它的能量会自发地降低。我们前面已经提到这种让整体降低能量的方法实际上与拷贝邻居状态的微观原则一致。于是，我们可以设计一种微观的演化机制，而使得宏观的某种待优化的函数（例如能量）能够自然地被优化。这就是[[Hopfield网络]]模型的起源。
[[Hopfield网络]]是一个著名的[[神经网络]]模型，通过对网络进行训练，可以让它记住相应的模式，并在适当的条件下联想回忆提取出相关的模式。也就是说，Hopfield模型通过训练（改变相互连接的权重），可以将要记忆的模式映射为能量最小的状态，之后通过Ising模型的邻域相互作用规则自发演化到这种最小能量状态。Hopfield的构造如下，一个加权的网络，如下图，每个节点都是一个神经元，加权的连边表示神经元之间的突触连接。
[[Hopfield网络]]是一个著名的[[神经网络]]模型，通过对网络进行训练，可以让它记住相应的模式，并在适当的条件下联想回忆提取出相关的模式。也就是说，Hopfield模型通过训练（改变相互连接的权重），可以将要记忆的模式映射为能量最小的状态，之后通过伊辛模型的邻域相互作用规则自发演化到这种最小能量状态。Hopfield的构造如下，一个加权的网络，如下图，每个节点都是一个神经元，加权的连边表示神经元之间的突触连接。
那么，Hopfield网络按照上述规则运行就会使得总能量尽量降低。相比较伊辛模型，我们看到，Hopfield的能量函数与伊辛模型非常相似，所不同的是相互作用强度因连接而异(<math>w_{ij}</math>)，同时外场:<math>\theta_i</math>也会因神经元不同而不同。因此，可以说Hopfield网络就是一个变种的伊辛模型。
==参见==
==参见==
*[http://wiki.swarma.net/index.php/ISING%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E7%9A%84%E9%87%8D%E6%AD%A3%E5%8C%96 ISING模型的重正化]
*[http://wiki.swarma.net/index.php/伊辛%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E7%9A%84%E9%87%8D%E6%AD%A3%E5%8C%96 伊辛模型的重正化]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Voter_model 投票模型]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Voter_model 投票模型]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Hopfield_network Hopfield网络]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Hopfield_network Hopfield网络]
==编者推荐==
==编者推荐==
[[File:复杂网络上的Ising.jpg|400px|thumb|[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的Ising模型]]]
[[File:复杂网络上的伊辛.jpg|400px|thumb|[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]]]
===集智文章===
===集智文章===
====[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的Ising模型]====
====[https://swarma.org/?p=9944 复杂网络上的伊辛模型]====
本文将复杂网络与伊辛模型结合，使用随机几何图模型，构造复杂网络，并在网络的基础上运行伊辛模型。探索了其临界温度，发现临界温度与粒子数具有密切关联。同时发现相邻的集团之间，具有较强的独立性，并做了具体的数值分析。临界温度与独立性包涵了重要的现实意义，对于物质生长、凝聚具有解释效力；对于很多社会问题，也可以基于此模型给出解释 。
===集智课程===
===集智课程===
====[https://campus.swarma.org/course/310 相变与相变模型]====
====[https://campus.swarma.org/course/310 相变与相变模型]====
本课程的主题是相变，它是一种涌现的模式，是系统表现出来的某种性质在不同情况下的变化。除了相变之外，在本课中还会向大家介绍大名鼎鼎的“伊辛 Model”，最后，还将简单介绍沙堆模型的相关内容。
====[https://campus.swarma.org/course/1578 平衡态伊辛模型的本征微观态及本征值]====
====[https://campus.swarma.org/course/1578 平衡态伊辛模型的本征微观态及本征值]====
本课程中，展示了 Ising 模型的蒙特卡洛模拟验证了本征微观态相变理论与有限尺度标度理论，并在全球气温系统中进行了实证分析。
本课程中，展示了 伊辛 模型的蒙特卡洛模拟验证了本征微观态相变理论与有限尺度标度理论，并在全球气温系统中进行了实证分析。
====[https://campus.swarma.org/course/1350 复杂系统中的关联]====
====[https://campus.swarma.org/course/1350 复杂系统中的关联]====
计算了理想玻色气体的关联函数与关联长度,得到高温时，关联长度较短，趋于临界点的时候，关联长度趋于无穷大的结论，并引入了复杂系统的单元-单元关联函数，通过Ising 模型计算模拟数据证实本征值满足有限尺度标度关系。
计算了理想玻色气体的关联函数与关联长度,得到高温时，关联长度较短，趋于临界点的时候，关联长度趋于无穷大的结论，并引入了复杂系统的单元-单元关联函数，通过伊辛 模型计算模拟数据证实本征值满足有限尺度标度关系。