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第7行： − + − Using the [[Kronecker product]] notation and the [[Vectorization (mathematics)|vectorization operator]] , we can rewrite Sylvester's equation in the form − − where <math>A</math> is of dimension <math>n\! \times\! n</math>, <math>B</math> is of dimension <math>m\!\times\!m</math>, <math>X</math> of dimension <math>n\!\times\!m</math> and <math>I_k</math> is the <math>k \times k</math> [[identity matrix]]. In this form, the equation can be seen as a [[linear system]] of dimension <math>mn \times mn</math>. − − + 第39行：
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其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A'' 和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n''行''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。
其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A'' 和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n''行''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。
当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 AX + XB = c 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同: ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。
当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同: ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。
==解的存在及唯一==
==解的存在及唯一==
利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:
利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:
:<math> (I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>
:<math> (I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>
其中 ''A'' 是 n x m的矩阵，''B'' 是维数 m x m的矩阵，X 是n x m的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be [[ill-conditioned]].</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。
其中 ''A'' 是 n × m的矩阵，''B'' 是m × m的矩阵，X 是n × m的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>However, rewriting the equation in this form is not advised for the numerical solution since this version is costly to solve and can be [[ill-conditioned]].</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。
'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意 <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。
'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意 <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。
'''Q.E.D.'''
'''Q.E.D.'''
= Roth消去法则 =
= Roth消去法则 =
给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 n × m 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}和\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。
给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 n × m 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。
一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：
一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：
* 代数Riccati方程
* 代数Riccati方程
==Notes==
==脚注==
{{Reflist}}
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==References==
==引用==
* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}
* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}
* {{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation <math>AX +XB = C</math> |journal=[[Comm. ACM]] |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}
* {{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation <math>AX +XB = C</math> |journal=[[Comm. ACM]] |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}