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[[File:Wiener process animated.gif|thumb|right|500px|
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维纳过程具有标度不变性。|链接=Special:FilePath/Wiener_process_animated.gif]]
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在物理学、数学和统计学中，'''Scale Invariance 标度不变性'''是物体或者物理定律的一种特征，如果长度、能量或者其他变量的标度与一个公因子相乘，而不发生改变，因此也就代表某种普遍性。
在物理学、数学和统计学中，'''Scale Invariance 标度不变性'''是物体或者物理定律的一种特征，如果长度、能量或者其他变量的标度与一个公因子相乘，而不发生改变，因此也就代表某种普遍性。
这种变换的专业名称是'''Dilatation 膨胀'''，膨胀也可以形成一个更大'''Conformal Symmetry 共形对称'''的一部分。
这种变换的专业名称是'''Dilatation 膨胀'''，膨胀也可以形成一个更大'''Conformal Symmetry 共形对称'''的一部分。
许多标变函数的实例是单项式：<math>f(x)=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：
许多标变函数的实例是单项式：<math>f(x)=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：
<math>f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~.</math>
<math>f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~</math>。
一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~。</math>
:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~.</math>
===分形===
===分形===
[[File:Kochsim.gif|thumb|right|250px|
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科赫雪花具有[[自相似]]性。|链接=Special:FilePath/Kochsim.gif]]
科赫雪花具有[[自相似]]性。|链接=Special:FilePath/Kochsim.gif]]
有时人们认为分形是标度不变的，尽管更准确地来说，应该说分形是自相似的。分形通常是在某个{{mvar|λ}}值的离散集合内等同于其本身，即使这样，有时也需要通过平移和旋转变换来实现。
有时人们认为分形是标度不变的，尽管更准确地来说，应该说分形是自相似的。分形通常是在某个{{mvar|λ}}值的离散集合内等同于其本身，即使这样，有时也需要通过平移和旋转变换来实现。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''Koch Curve 科赫雪花'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
因此，以{{math|∆ {{=}} 1}}的'''Koch Curve 科赫雪花'''缩放为例，但是该缩放只适用于{{math|''λ'' {{=}} 1/3<sup>''n''</sup>}}，（{{mvar|n}}为整数）的值。此外，科赫雪花不仅在初始点，而且在某种意义上，在整条曲线上都可以找到其“缩影”。
某些分形可能同时具有多个标度因子，可以应用'''Multi-Fractal Analysis 多重分形分析'''进行研究。
某些分形可能同时具有多个标度因子，可以应用'''Multi-Fractal Analysis 多重分形分析'''进行研究。
周期性外部和内部射线是不变的曲线。
周期性外部和内部射线是不变的曲线。
<math>P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)</math>
<math>P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)</math>
当{{mvar|Δ}}= 0时对应'''White noise 白噪声'''，{{mvar|Δ}}=-1时对应'''Pink noise 粉红噪声'''，{{mvar|Δ}}=-2时对应'''Brownian noise 布朗噪声'''（更一般的是'''Brownian motion 布朗运动'''）。
当{{mvar|Δ}}= 0时对应'''White noise 白噪声'''，{{mvar|Δ}}=-1时对应'''Pink noise 粉红噪声'''，{{mvar|Δ}}=-2时对应'''Brownian noise 布朗噪声'''（更一般的是'''Brownian motion 布朗运动'''）。
随机序列由Tweedie分布控制，并通过展开箱的方法进行评估，在方差-均值幂律和幂律自相关之间表现出双条件关系。'''Wiener–Khinchin Theorem 维纳-辛钦定理'''进一步表明，在这些条件下，对于任何具有方差-均值幂律的序列，也会出现1/f噪声<ref name="Kendal2011">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/''f'' noise, and multifractality |journal=Phys. Rev. E |volume=84 |issue=6 |pages=066120 |doi=10.1103/PhysRevE.84.066120 |bibcode = 2011PhRvE..84f6120K |pmid=22304168|url=https://findresearcher.sdu.dk:8443/ws/files/55639035/e066120.pdf }}</ref>。
随机序列由Tweedie分布控制，并通过展开箱的方法进行评估，在方差-均值幂律和幂律自相关之间表现出双条件关系。'''Wiener–Khinchin Theorem 维纳-辛钦定理'''进一步表明，在这些条件下，对于任何具有方差-均值幂律的序列，也会出现1/f噪声<ref name="Kendal2011">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Tweedie convergence: A mathematical basis for Taylor's power law, 1/''f'' noise, and multifractality |journal=Phys. Rev. E |volume=84 |issue=6 |pages=066120 |doi=10.1103/PhysRevE.84.066120 |bibcode = 2011PhRvE..84f6120K |pmid=22304168|url=https://findresearcher.sdu.dk:8443/ws/files/55639035/e066120.pdf }}</ref>。
经典场论一般用依赖于坐标''x'' 的场或场集 φ 来描述。然后通过求解 φ 的微分方程来确定有效的场构型，这些方程被称为场方程。
经典场论一般用依赖于坐标''x'' 的场或场集 φ 来描述。然后通过求解 φ 的微分方程来确定有效的场构型，这些方程被称为场方程。
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放，
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放，
<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~</math>。
<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~</math>。
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''Scaling Dimension 标度维数'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
参数 {{mvar|Δ}} 称为场的'''Scaling Dimension 标度维数'''，其大小取决于所考虑的理论。如果理论中没有固定长度的标度，标度不变性通常会成立。相反，如果存在固定的长度标度，则表明理论不具有标度不变性。
<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math>
<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math>
其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''Spontaneously Broken 自发破缺'''。
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''Spontaneously Broken 自发破缺'''。
标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''('''x''',''t'') 和 '''B'''('''x''',''t'')，而它们的场方程是麦克斯韦方程组。
标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''('''x''',''t'') 和 '''B'''('''x''',''t'')，而它们的场方程是麦克斯韦方程组。
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
其中 c 是光速。
其中 c 是光速。
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场(注意名称“标量”与标度不变性无关)。标量场{{math|''φ''('''''x''''', ''t'')}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。
标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场(注意名称“标量”与标度不变性无关)。标量场{{math|''φ''('''''x''''', ''t'')}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
<math>t\rightarrow\lambda t.</math>。
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''Relativistic Field Theories 相对论场理论'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''Relativistic Field Theories 相对论场理论'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
<math>L=\frac{\hbar}{mc},</math>，
<math>L=\frac{\hbar}{mc},</math>，
因此质量标量场理论不具有标度不变性也就不足为奇了。
因此质量标量场理论不具有标度不变性也就不足为奇了。
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
量子场论(QFT)的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。
量子场论(QFT)的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。
对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin (2010) Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。
对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin (2010) Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。
自由的、无质量的'''Quantized Scalar Field Theory 量子化标量场理论'''没有耦合参数。因此，像经典的版本一样，它是标度不变的。在重整化群的范畴中，这个理论称做'''Gaussian Fixed Point 高斯定点'''。
自由的、无质量的'''Quantized Scalar Field Theory 量子化标量场理论'''没有耦合参数。因此，像经典的版本一样，它是标度不变的。在重整化群的范畴中，这个理论称做'''Gaussian Fixed Point 高斯定点'''。
然而，尽管经典的无质量''φ''<sup>4</sup>理论在''D''=4时是标度不变的，但量子化的版本却不是如此。我们可以从耦合参数''g''的β函数中看出这一点。
然而，尽管经典的无质量''φ''<sup>4</sup>理论在''D''=4时是标度不变的，但量子化的版本却不是如此。我们可以从耦合参数''g''的β函数中看出这一点。
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''Wilson-Fisher Fixed Point 威尔逊-费雪定点'''。
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''Wilson-Fisher Fixed Point 威尔逊-费雪定点'''。
将本文中的许多观点联系在一起的一个实例是伊辛模型的相变，这是一个关于铁磁物质的简单模型。还是一个具有共形场论描述的统计力学模型。该系统由一系列格子点位组成，这些点位构成了一个{{mvar|D}}维的周期格子。与每个格子位置相关联的是磁矩或自旋，这个自旋可以取 +1或-1。(这些状态也分别称为向上和向下。)
将本文中的许多观点联系在一起的一个实例是伊辛模型的相变，这是一个关于铁磁物质的简单模型。还是一个具有共形场论描述的统计力学模型。该系统由一系列格子点位组成，这些点位构成了一个{{mvar|D}}维的周期格子。与每个格子位置相关联的是磁矩或自旋，这个自旋可以取 +1或-1。(这些状态也分别称为向上和向下。)
关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度(Tc)下，就会发生'''Spontaneous Magnetization 自发磁化'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。
关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度(Tc)下，就会发生'''Spontaneous Magnetization 自发磁化'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。
由同一标度不变理论描述的不同微观理论的集合被称为普适性类。属于普适性类别的其他系统有:
由同一标度不变理论描述的不同微观理论的集合被称为普适性类。属于普适性类别的其他系统有:
* 沙堆中的塌落现象。发生塌落的可能性与塌落的规模服从幂律，而且可以看到塌落发生在所有不同的尺度上。
* 沙堆中的塌落现象。发生塌落的可能性与塌落的规模服从幂律，而且可以看到塌落发生在所有不同的尺度上。
* 互联网网络中断的频率，是其规模和持续时间的函数。
* 互联网网络中断的频率，是其规模和持续时间的函数。
其中<math>\mu</math>是'''Dynamic Viscosity 动态黏度'''。
其中<math>\mu</math>是'''Dynamic Viscosity 动态黏度'''。
为了推导这些方程的尺度不变性，我们指定一个状态方程，将流体压力与流体密度联系起来。状态方程取决于流体的类型及其所处的条件。例如，我们考虑等温理想气体，它满足：
为了推导这些方程的尺度不变性，我们指定一个状态方程，将流体压力与流体密度联系起来。状态方程取决于流体的类型及其所处的条件。例如，我们考虑等温理想气体，它满足：
<math>P=c_s^2\rho,</math>，
<math>P=c_s^2\rho,</math>，
其中<math>c_s</math>是流体中声速。给定这个状态方程，纳维-斯托克斯方程和连续性方程在进行如下变换时是不变的：
其中<math>c_s</math>是流体中声速。给定这个状态方程，纳维-斯托克斯方程和连续性方程在进行如下变换时是不变的：