更改

==标度不变曲线与自相似性==

==标度不变曲线与自相似性==

在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' (''λx'')}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f'' (''x'')}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：

在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' （''λx''）}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f'' （''x''）}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：

<math>f(\lambda x)=\lambda^{\Delta}f(x)</math>。

<math>f（\lambda x）=\lambda^{\Delta}f（x）</math>。

许多标变函数的实例是单项式：<math>f(x)=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：

许多标变函数的实例是单项式：<math>f（x）=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：

<math>f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~</math>。

<math>f（\lambda x） = （\lambda x）^n = \lambda^n f（x）~</math>。

一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成

一个标度不变曲线的例子是'''Logarithmic Spiral 对数螺线（等角螺线）'''，这是一种在自然界中经常出现的曲线。在极坐标系中，螺旋线可以写成

:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~。</math>

:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln（r/a）~。</math>

在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''(''λr'')}}与其旋转后的{{math|''θ''(''r'')}}一模一样。

在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''（''λr''）}}与其旋转后的{{math|''θ''（''r''）}}一模一样。

==随机过程中的标度不变性==

==随机过程中的标度不变性==

如果{{math|''P''(''f'' )}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：

如果{{math|''P''（''f'' ）}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：

<math>P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)</math>

<math>P（f） = \lambda^{-\Delta} P（\lambda f）</math>

'''Tweedie分布'''是'''Exponential Dispersion Models 指数弥散模型'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''Poisson distribution 泊松分布'''和'''Gamma Distribution 伽玛分布'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var(''Y'')与均值E(''Y'')之间服从幂律关系：

'''Tweedie分布'''是'''Exponential Dispersion Models 指数弥散模型'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''Poisson distribution 泊松分布'''和'''Gamma Distribution 伽玛分布'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var（''Y''）与均值E（''Y''）之间服从幂律关系：

<math>\text{var}\,(Y) = a[\text{E}\,(Y)]^p</math>，

<math>\text{var}\,（Y） = a[\text{E}\,（Y）]^p</math>，

其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''Fluctuation Scaling 涨落标度'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. (2008). "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' (1): 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''Taylor's Law 泰勒定律'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。

其中a和p是正常数。这种方差-均值的幂律关系在物理学文献中称为'''Fluctuation Scaling 涨落标度'''<ref name="Eisler2008">Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. （2008）. "Fluctuation scaling in complex systems: Taylor's law and beyond". ''Adv Phys''. '''57''' （1）: 89–142. arXiv:0708.2053. Bibcode:2008AdPhy..57...89E. doi:10.1080/00018730801893043. S2CID 119608542.</ref>，在生态学文献中称为'''Taylor's Law 泰勒定律'''<ref name="Kendal2011a">{{cite journal |last1=Kendal |first1=W. S. |last2=Jørgensen |first2=B. |year=2011 |title=Taylor's power law and fluctuation scaling explained by a central-limit-like convergence |journal=Phys. Rev. E |volume=83 |issue=6 |pages=066115 |doi=10.1103/PhysRevE.83.066115 |pmid=21797449 |bibcode = 2011PhRvE..83f6115K }}</ref>。

'''Tweedie Convergence Theorem Tweedie 收敛定理'''为涨落标度和1/f噪声的广泛出现提供了一个假设性解释<ref name="Jørgensen1994">Jørgensen, B.; Martinez, J. R.; Tsao, M. (1994). "Asymptotic behaviour of the variance function". ''Scand J Statist''. '''21''' (3): 223–243. JSTOR 4616314.</ref> 。本质上，它要求任何一个可以渐近地显示方差-均值幂律的指数弥散模型，需要在Tweedie模型的吸引域内表达一个方差函数。几乎所有具有有限累积母函数的分布函数都符合指数弥散模型，而大多数指数弥散模型都表现出这种形式的方差函数。因此，许多概率分布都有表达这种渐近行为的方差函数，而Tweedie分布成为了不同数据类型收敛的焦点<ref name="Kendal2011" />。

'''Tweedie Convergence Theorem Tweedie 收敛定理'''为涨落标度和1/f噪声的广泛出现提供了一个假设性解释<ref name="Jørgensen1994">Jørgensen, B.; Martinez, J. R.; Tsao, M. （1994）. "Asymptotic behaviour of the variance function". ''Scand J Statist''. '''21''' （3）: 223–243. JSTOR 4616314.</ref> 。本质上，它要求任何一个可以渐近地显示方差-均值幂律的指数弥散模型，需要在Tweedie模型的吸引域内表达一个方差函数。几乎所有具有有限累积母函数的分布函数都符合指数弥散模型，而大多数指数弥散模型都表现出这种形式的方差函数。因此，许多概率分布都有表达这种渐近行为的方差函数，而Tweedie分布成为了不同数据类型收敛的焦点<ref name="Kendal2011" />。

=== 宇宙学===

=== 宇宙学===

在'''Physical Cosmology 宇宙物理学'''，'''Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''Primordial Fluctuations 原始涨落'''的振幅{{math|''P''(''k'')}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀论'''的主张是一致的。

在'''Physical Cosmology 宇宙物理学'''，'''Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''Primordial Fluctuations 原始涨落'''的振幅{{math|''P''（''k''）}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀论'''的主张是一致的。

==经典场论中的标度不变性==

==经典场论中的标度不变性==

:<math>\lambda^{\Delta}\varphi(\lambda x)</math>。

:<math>\lambda^{\Delta}\varphi（\lambda x）</math>。

===场结构中的标度不变性===

===场结构中的标度不变性===

对于特定的场构型''φ''(''x'')，要具有标度不变性，我们就要满足：

对于特定的场构型''φ''（''x''），要具有标度不变性，我们就要满足：

<math>\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)</math>。其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。

<math>\varphi（x）=\lambda^{-\Delta}\varphi（\lambda x）</math>。其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。

===经典电磁学 ===

===经典电磁学 ===

标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''('''x''',''t'') 和 '''B'''('''x''',''t'')，而它们的场方程是麦克斯韦方程组。

标度不变的经典场论的一个实例是没有电荷和电流的电磁学。场是电场和磁场，'''E'''（'''x''',''t''） 和 '''B'''（'''x''',''t''），而它们的场方程是麦克斯韦方程组。

<math>t\rightarrow\lambda t</math>。

<math>t\rightarrow\lambda t</math>。

此外，已知'''E'''('''x''', ''t'')和'''B'''('''x''', ''t'')是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''(λ'''x''', λ''t'')和'''B'''(λ'''x''', λ''t'')也是解。

此外，已知'''E'''（'''x''', ''t''）和'''B'''（'''x''', ''t''）是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''（λ'''x''', λ''t''）和'''B'''（λ'''x''', λ''t''）也是解。

===无质量标量场理论===

===无质量标量场理论===

标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场(注意名称“标量”与标度不变性无关)。标量场{{math|''φ''('''''x''''', ''t'')}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。

标度不变经典场论的另一个例子是无质量标量场（注意名称“标量”与标度不变性无关）。标量场{{math|''φ''（'''''x''''', ''t''）}}是一组空间变量 '''''x''''' 和一个时间变量 {{mvar|t}} 的函数。

<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0</math>。

<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0</math>。

(注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂)

（注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂）

当{{mvar|D}}=4(如三维空间维数和一维时间维数)时，标量场标度维数为{{mvar|Δ}}=1。场方程在进行如下变换下是不变的：

当{{mvar|D}}=4（如三维空间维数和一维时间维数）时，标量场标度维数为{{mvar|Δ}}=1。场方程在进行如下变换下是不变的：

:<math>x\rightarrow\lambda x,</math>

:<math>x\rightarrow\lambda x,</math>

:<math>t\rightarrow\lambda t,</math>

:<math>t\rightarrow\lambda t,</math>

:<math>\varphi (x)\rightarrow\lambda^{-1}\varphi(x)</math>。

:<math>\varphi （x）\rightarrow\lambda^{-1}\varphi（x）</math>。

==量子场论中的标度不变性==

==量子场论中的标度不变性==

量子场论(QFT)的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。

量子场论（QFT）的标度依赖性的特征是其耦合参数依赖于给定物理过程的能量标度。这种能量依赖由重正化群描述，并编码在理论的'''Beta-function β函数'''中。

对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin (2010) Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。

对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin （2010） Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。

===量子电动力学===

===量子电动力学===

标度不变量子场论的一个简单实例是没有带电粒子的量子化电磁场。这个理论实际上没有耦合参数(因为光子是无质量和非相互作用的) ，因此是标度不变的，这很像经典理论。

标度不变量子场论的一个简单实例是没有带电粒子的量子化电磁场。这个理论实际上没有耦合参数（因为光子是无质量和非相互作用的） ，因此是标度不变的，这很像经典理论。

=== 标度与共形异常===

=== 标度与共形异常===

上面的φ⁴理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变(或共形不变)。如果是这种情况，则称经典标度(或共形)不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP  |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06(2014)080}}</ref>。

上面的φ⁴理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变（或共形不变）。如果是这种情况，则称经典标度（或共形）不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP  |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06（2014）080}}</ref>。

==相变==

==相变==

在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态(即时间无关)的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''Critical Exponents 临界指数'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。

在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态（即时间无关）的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''Critical Exponents 临界指数'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。

===伊辛模型===

===伊辛模型===

将本文中的许多观点联系在一起的一个实例是伊辛模型的相变，这是一个关于铁磁物质的简单模型。还是一个具有共形场论描述的统计力学模型。该系统由一系列格子点位组成，这些点位构成了一个{{mvar|D}}维的周期格子。与每个格子位置相关联的是磁矩或自旋，这个自旋可以取 +1或-1。(这些状态也分别称为向上和向下。)

将本文中的许多观点联系在一起的一个实例是伊辛模型的相变，这是一个关于铁磁物质的简单模型。还是一个具有共形场论描述的统计力学模型。该系统由一系列格子点位组成，这些点位构成了一个{{mvar|D}}维的周期格子。与每个格子位置相关联的是磁矩或自旋，这个自旋可以取 +1或-1。（这些状态也分别称为向上和向下。）

关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度(Tc)下，就会发生'''Spontaneous Magnetization 自发磁化'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。

关键地是，伊辛模型具有自旋-自旋相互作用，这使得两个相邻的自旋在能量上更有利于排列。另一方面，热波动通常会给自旋的排列带来随机性。在某些临界温度（Tc）下，就会发生'''Spontaneous Magnetization 自发磁化'''。这意味着在临界温度以下，自旋-自旋相互作用将开始占据主导地位，并且在两个方向中的任一方向上存在部分自旋的净排列。

在这个临界温度下，人们想要计算的物理量之一是存在距离的自旋之间的相互关系。此处通式为：

在这个临界温度下，人们想要计算的物理量之一是存在距离的自旋之间的相互关系。此处通式为：

<math>G(r)\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>，

<math>G（r）\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>，

对于某个特定的<math>\eta</math>值，这是一个临界指数的例子。

对于某个特定的<math>\eta</math>值，这是一个临界指数的例子。

此处，{{math|''G''(''r'')}}理解为标量场的相关函数

此处，{{math|''G''（''r''）}}理解为标量场的相关函数

<math>\langle\phi(0)\phi(r)\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>。

<math>\langle\phi（0）\phi（r）\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>。

对于维度{{math|''D'' ≡ 4−''ε''}}，可以使用epsilon展开式近似地计算{{mvar|η}}，并且可以发现：

对于维度{{math|''D'' ≡ 4−''ε''}}，可以使用epsilon展开式近似地计算{{mvar|η}}，并且可以发现：

<math>\eta=\frac{\epsilon^2}{54}+O(\epsilon^3)</math>。

<math>\eta=\frac{\epsilon^2}{54}+O（\epsilon^3）</math>。

在物理上很有趣的三维空间情况下，我们有{{mvar|ε}}=1，因此这种膨胀并不严格可靠。然而，半定量的预测是η在三维上的数值很小。

在物理上很有趣的三维空间情况下，我们有{{mvar|ε}}=1，因此这种膨胀并不严格可靠。然而，半定量的预测是η在三维上的数值很小。

另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''Minimal Model 最小模型'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η(和其他临界指数)：

另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''Minimal Model 最小模型'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η（和其他临界指数）：

<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。

<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。

===施拉姆—洛纳演化===

===施拉姆—洛纳演化===

某些二维共形场论的异常维数可能与随机游动的典型分形维数有关，其中随机游动是通过施拉姆-洛纳演化(SLE)定义的。正如我们上面所看到的，共形场论描述了相变的物理过程，因此我们可以把某些相变的临界指数与这些分形维数联系起来。例如，二维临界伊辛模型和更一般的二维临界波茨模型。将其他二维共形场论与施拉姆-洛纳演化联系起来是一个活跃的研究领域。

某些二维共形场论的异常维数可能与随机游动的典型分形维数有关，其中随机游动是通过施拉姆-洛纳演化（SLE）定义的。正如我们上面所看到的，共形场论描述了相变的物理过程，因此我们可以把某些相变的临界指数与这些分形维数联系起来。例如，二维临界伊辛模型和更一般的二维临界波茨模型。将其他二维共形场论与施拉姆-洛纳演化联系起来是一个活跃的研究领域。

===无应力牛顿流体力学===

===无应力牛顿流体力学===

在一定条件下，流体力学是一种标度不变的经典场论。流场包括流体流动速度<math>\mathbf{u}(\mathbf{x},t)</math>、流体密度<math>\rho(\mathbf{x},t)</math>和流体压力<math>P(\mathbf{x},t)</math>。这些场必须同时满足'''Navier–Stokes equation 纳维-斯托克斯方程'''和'''Continuity Equation 连续性方程'''。对于'''Newtonian Fluid 牛顿流体'''，它们有各自的形式：

在一定条件下，流体力学是一种标度不变的经典场论。流场包括流体流动速度<math>\mathbf{u}（\mathbf{x},t）</math>、流体密度<math>\rho（\mathbf{x},t）</math>和流体压力<math>P（\mathbf{x},t）</math>。这些场必须同时满足'''Navier–Stokes equation 纳维-斯托克斯方程'''和'''Continuity Equation 连续性方程'''。对于'''Newtonian Fluid 牛顿流体'''，它们有各自的形式：

<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left(\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right)\right)</math>

<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left（\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left（\nabla\cdot\mathbf{u}\right）\right）</math>

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \left(\rho\mathbf{u}\right)=0</math>

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \left（\rho\mathbf{u}\right）=0</math>

:<math>\mathbf{u}\rightarrow\mathbf{u}。</math>

:<math>\mathbf{u}\rightarrow\mathbf{u}。</math>

:已知解<math>\mathbf{u}(\mathbf{x},t)</math>和<math>\rho(\mathbf{x},t)</math>，我们自然可以得到<math>\lambda\mathbf{u}(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>和<math>\lambda\rho(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>也是解。

:已知解<math>\mathbf{u}（\mathbf{x},t）</math>和<math>\rho（\mathbf{x},t）</math>，我们自然可以得到<math>\lambda\mathbf{u}（\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t）</math>和<math>\lambda\rho（\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t）</math>也是解。

=== 计算机视觉===

=== 计算机视觉===

在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. (2013) Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990.]</ref>  。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony (1998). "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' (2): 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg (2014) [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''Blob Detection 斑点检测'''、'''Corner Detection 角点检测、Ridge Detection 脊线检测'''和通过'''Scale-Invariant Feature Transform 标度不变特征变换'''进行的目标识别。

在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. （2013） Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8（7）:e66990.]</ref>  。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony （1998）. "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' （2）: 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg （2014） [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, （K. Ikeuchi, Editor）, Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''Blob Detection 斑点检测'''、'''Corner Detection 角点检测、Ridge Detection 脊线检测'''和通过'''Scale-Invariant Feature Transform 标度不变特征变换'''进行的目标识别。

== 编者推荐 ==

== 编者推荐 ==

'''[[伊辛模型 Ising Model|伊辛模型 Ising Model - 集智百科 (swarma.org)]]'''

'''[[伊辛模型 Ising Model|伊辛模型 Ising Model - 集智百科 （swarma.org）]]'''