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[[File:Boltzmann distribution graph.svg.png|upright=1.75|right|thumb|玻尔兹曼因子 ''p_i'' / ''p_j''（纵轴）作为温度 ''T''的函数，用于几个能量差 ''ε_i'' − ''ε_j''。]]

[[File:Boltzmann distribution graph.svg.png|upright=1.75|right|thumb|玻尔兹曼因子 ''p_i'' / ''p_j''（纵轴）作为温度 ''T''的函数，用于几个能量差 ''ε_i'' − ''ε_j''。]]

在统计力学和数学中，'''玻尔兹曼分布 Boltzmann distribution'''（也称为'''吉布斯分布 Gibbs distribution'''<ref name="landau">{{cite book | author=Landau, Lev Davidovich |author2=Lifshitz, Evgeny Mikhailovich |name-list-style=amp | title=Statistical Physics |volume=5 |series=Course of Theoretical Physics |edition=3 |origyear=1976 |year=1980 |place=Oxford |publisher=Pergamon Press|isbn=0-7506-3372-7|author-link=Lev Landau |author2-link=Evgeny Lifshitz }} Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28</ref>)是一个概率分布或机率量测，它给出了一个系统处于某种量子态的概率，这个概率是该状态的能量和系统温度的函数。分布情况以下列形式表示:

在统计力学和数学中，'''玻尔兹曼分布 Boltzmann distribution'''（也称为'''吉布斯分布 Gibbs distribution'''<ref name="landau">{{cite book | author=Landau, Lev Davidovich |author2=Lifshitz, Evgeny Mikhailovich |name-list-style=amp | title=Statistical Physics |volume=5 |series=Course of Theoretical Physics |edition=3 |origyear=1976 |year=1980 |place=Oxford |publisher=Pergamon Press|isbn=0-7506-3372-7}} Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28</ref>)是一个概率分布或机率量测，它给出了一个系统处于某种量子态的概率，这个概率是该状态的能量和系统温度的函数。分布情况以下列形式表示:

:<math>p_i \propto e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}</math>  

:<math>p_i \propto e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}</math>  

波兹曼分布是根据[[路德维希·玻尔兹曼 Ludwig Edward Boltzmann]]1868年在研究统计力学中气体热平衡的时候首次提出的一个公式命名的。波尔兹曼的统计工作在他1877年的论文《论热力学第二基本定理与热平衡条件的概率计算之间的关系》中得到了体现。<ref>“On the Relationship between the Second Fundamental Theorem of the Mechanical Theory of Heat and Probability Calculations Regarding the Conditions for Thermal Equilibrium” Sitzungberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissen Classe. Abt. II, LXXVI 1877, pp 373-435 (Wien. Ber. 1877, 76:373-435). </ref> 在玻尔兹曼分布被发明之后，[[约西亚·威拉德·吉布斯 Josiah Willard Gibbs]]充分地研究了它并在1902年提出了它的一般形式。<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |authorlink=Josiah Willard Gibbs |title=Elementary Principles in Statistical Mechanics |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York|title-link=Elementary Principles in Statistical Mechanics }}</ref>

波兹曼分布是根据[[路德维希·玻尔兹曼 Ludwig Edward Boltzmann]]1868年在研究统计力学中气体热平衡的时候首次提出的一个公式命名的。波尔兹曼的统计工作在他1877年的论文《论热力学第二基本定理与热平衡条件的概率计算之间的关系》中得到了体现。<ref>“On the Relationship between the Second Fundamental Theorem of the Mechanical Theory of Heat and Probability Calculations Regarding the Conditions for Thermal Equilibrium” Sitzungberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissen Classe. Abt. II, LXXVI 1877, pp 373-435 (Wien. Ber. 1877, 76:373-435). </ref> 在玻尔兹曼分布被发明之后，[[约西亚·威拉德·吉布斯 Josiah Willard Gibbs]]充分地研究了它并在1902年提出了它的一般形式。<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |title=Elementary Principles in Statistical Mechanics |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York}}</ref>

广义波兹曼分布是熵的统计力学定义（吉布斯熵公式  <math>S = -k_{\mathrm{B}}\sum_i p_i \log p_i</math>）与熵的热力学定义（<math>d S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>）等价的充要条件。<ref name=":0">{{cite journal |last1= Gao |first1= Xiang |last2= Gallicchio |first2= Emilio |first3= Adrian |last3= Roitberg  |date= 2019 |title= The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy |journal= The Journal of Chemical Physics|volume= 151|issue= 3|pages= 034113|doi= 10.1063/1.5111333|pmid= 31325924 |arxiv= 1903.02121 |s2cid= 118981017 }}</ref>

广义波兹曼分布是熵的统计力学定义（吉布斯熵公式  <math>S = -k_{\mathrm{B}}\sum_i p_i \log p_i</math>）与熵的热力学定义（<math>d S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>）等价的充要条件。<ref name=":0">{{cite journal |last1= Gao |first1= Xiang |last2= Gallicchio |first2= Emilio |first3= Adrian |last3= Roitberg  |date= 2019 |title= The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy |journal= The Journal of Chemical Physics|volume= 151|issue= 3|pages= 034113|doi= 10.1063/1.5111333|pmid= 31325924 |arxiv= 1903.02121 }}</ref>