更改

在动力系统的数学领域中，'''吸引子 attractor'''是系统在众多初始条件下所趋向的一组数值。即使稍微受到干扰，与吸引子的值接近的系统值仍然能够保证近似性。

在动力系统的数学领域中，'''吸引子 attractor'''是系统在众多初始条件下所趋向的一组数值。即使稍微受到干扰，与吸引子的值接近的系统值仍然能够保证近似性。

极限环是连续动力系统的周期轨道，它是孤立点。例如时钟的摆动，以及休息时的心跳。（理想摆的极限环不是极限环吸引子的一个例子，因为它的轨道不是孤立的：在理想摆的相空间中，在一个周期轨道的任何一个点附近都有另一个点属于不同的周期轨道，因此前一个轨道不具有吸引力）。

极限环是连续动力系统的周期轨道，它是孤立点。例如时钟的摆动，以及休息时的心跳。（理想摆的极限环不是极限环吸引子的一个例子，因为它的轨道不是孤立的：在理想摆的相空间中，在一个周期轨道的任何一个点附近都有另一个点属于不同的周期轨道，因此前一个轨道不具有吸引力）。

[[文件：VanDerPolPhaseSpace.png|center| 250px |拇指|<center>[[Van der Pol振荡器| Van der Pol]][[相位肖像]]：吸引极限环</center>]]

[[文件：VanDerPolPhaseSpace.png|center| 250px |拇指|]]<center> [[文件：VanDerPolPhaseSpace.png|Van der Pol相位肖像：吸引极限环]]</center>

范德波尔相图: 一个吸引极限环 </center>]]

 

范德波尔相图: 一个吸引极限环 ]]

===极限环===

===极限环===

在处于极限循环状态的系统的周期轨迹中可能存在多个频率。例如，在物理学中，一个频率可以决定一颗行星围绕恒星运行的速率，而第二个频率则描述了两个天体之间的距离振荡。如果其中两个频率形成'''无理分数 irrational fraction'''（即它们是非公度），则轨迹不再闭合，极限循环变成极限环。如果存在{{math|N_t}}非公度频率，这种吸引子被称为{{math|''N''_''t''}}环面。例如这个2环面体：

在处于极限循环状态的系统的周期轨迹中可能存在多个频率。例如，在物理学中，一个频率可以决定一颗行星围绕恒星运行的速率，而第二个频率则描述了两个天体之间的距离振荡。如果其中两个频率形成'''无理分数 irrational fraction'''（即它们是非公度），则轨迹不再闭合，极限循环变成极限环。如果存在{{math|N_t}}非公度频率，这种吸引子被称为{{math|''N''_''t''}}环面。例如这个2环面体：

[[File:torus.png|300px]]

[[File:torus.png|300px|链接=Special:FilePath/Torus.png]]

与这个吸引子对应的时间序列是一个准周期序列: 具有非公度频率的周期函数（不一定是正弦波）的离散采样和。这样的时间序列不具有严格的周期性，但其功率谱仍然只包含锐线。

与这个吸引子对应的时间序列是一个准周期序列: 具有非公度频率的周期函数（不一定是正弦波）的离散采样和。这样的时间序列不具有严格的周期性，但其功率谱仍然只包含锐线。

===奇异吸引子===

===奇异吸引子===

[[file:洛伦兹吸引子yb.svg公司|thumb|200px|right|洛伦兹奇异吸引子的图，&nbsp;''ρ''&nbsp;=&nbsp;28,&nbsp;''σ''&nbsp;=&nbsp;10,&nbsp;''β''&nbsp;=&nbsp;8/3]]

[[file:洛伦兹吸引子yb.svg公司|thumb|200px|right|洛伦兹奇异吸引子的图，&nbsp;''ρ''&nbsp;=&nbsp;28,&nbsp;''σ''&nbsp;=&nbsp;10,&nbsp;''β''&nbsp;=&nbsp;8/3|链接=Special:FilePath/洛伦兹吸引子yb.svg公司]]

如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632 | pmid = 17816542 | bibcode = 1987Sci...238..632G }}</ref>

如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632 | pmid = 17816542 | bibcode = 1987Sci...238..632G }}</ref>

[[File:Matplotlib.svg|350px |thumb|右|分岔图[[逻辑图]]。参数“r”所有的吸引子显示在区间<math>0<x<1</math>的纵坐标上。点的颜色表示在10⁶次迭代过程中访问点<math>（r，x）</math>的频率：经常遇到的值用蓝色表示，不太常见的值用黄色表示。在<math>r\approx3.0</math>附近出现[[分岔]]，在<math>r\approx3.5</math>附近出现第二个分岔（导致四个吸引子值）。当<math>r>3.6</math>时，行为变得越来越复杂，中间穿插着简单行为区域（白色条纹）。]]

[[File:Matplotlib.svg|350px |thumb|右|分岔图[[逻辑图]]。参数“r”所有的吸引子显示在区间<math>0<x<1</math>的纵坐标上。点的颜色表示在10⁶次迭代过程中访问点<math>（r，x）</math>的频率：经常遇到的值用蓝色表示，不太常见的值用黄色表示。在<math>r\approx3.0</math>附近出现[[分岔]]，在<math>r\approx3.5</math>附近出现第二个分岔（导致四个吸引子值）。当<math>r>3.6</math>时，行为变得越来越复杂，中间穿插着简单行为区域（白色条纹）。|链接=Special:FilePath/Matplotlib.svg]]

2.352836323汇聚为1。

2.352836323汇聚为1。

[[File:newtroot 1 0 0 0 0 m1.png|thumb|Basins of attraction in the complex plane for using Newton's method to solve ''x''⁵&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Points in like-colored regions map to the same root; darker means more iterations are needed to converge.]]

[[File:newtroot 1 0 0 0 0 m1.png|thumb|Basins of attraction in the complex plane for using Newton's method to solve ''x''⁵&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Points in like-colored regions map to the same root; darker means more iterations are needed to converge.|链接=Special:FilePath/Newtroot_1_0_0_0_0_m1.png]]

[[文件：newtroot 10 0 0 0 m1.png |拇指|复杂平面中的吸引盆地，用于使用牛顿法求解“x”⁵—1&nbsp；=0。相同颜色区域中的点映射到同一根；较暗表示需要更多迭代才能收敛。]]

[[文件：newtroot 10 0 0 0 m1.png |拇指|复杂平面中的吸引盆地，用于使用牛顿法求解“x”⁵—1&nbsp；=0。相同颜色区域中的点映射到同一根；较暗表示需要更多迭代才能收敛。]]