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→必要非充分条件
==必要非充分条件==
==必要非充分条件==
如果二阶导数{{math|''f"{{''}}''(''x'')}}在点 {{math|''x''<sub>0</sub>}} 处存在，且 {{math|''x''<sub>0</sub>}} 是该函数的拐点，那么{{math|''f{{''}}''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}}。然而，即使存在任意阶的导数，这也只是拐点的必要非充分条件。在这种情况下，若最低阶(第二阶以上)非零导数为奇数阶(第三阶、第五阶等)，则该点是拐点；若最低阶非零导数为偶数阶，则该点不是拐点，而是波动点。但在代数几何中，波动点也是拐点。例如，函数 {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>4</sup>}} 的波动点是 {{math|''x'' {{=}} 0}} 。
如果二阶导数{{math|''f"''(''x'')}}在点 {{math|''x''<sub>0</sub>}} 处存在，且 {{math|''x''<sub>0</sub>}} 是该函数的拐点，那么{{math|''f''(''x''<sub>0</sub>) {{=}} 0}}。然而，即使存在任意阶的导数，这也只是拐点的必要非充分条件。在这种情况下，若最低阶(第二阶以上)非零导数为奇数阶(第三阶、第五阶等)，则该点是拐点；若最低阶非零导数为偶数阶，则该点不是拐点，而是波动点。但在代数几何中，波动点也是拐点。例如，函数 {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>4</sup>}} 的波动点是 {{math|''x'' {{=}} 0}} 。
2）第二充分条件：{{math|''f{{''}}''(''x'' + ε)}}和{{math|''f{{''}}''(''x'' − ''ε'')}}在''x''邻域符号相反。
2）第二充分条件：{{math|''f{{''}}''(''x'' + ε)}}和{{math|''f{{''}}''(''x'' − ''ε'')}}在''x''邻域符号相反。
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==拐点的分类==
==拐点的分类==