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在数学中，曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间，数学家们开发了很多模型。
在数学中，曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间，数学家们开发了很多模型。
==彭加莱平面==
==彭加莱平面==
===跟踪曲线 Tractrix===
===跟踪曲线（Tractrix）===
[[File:Tractrixtrygif.gif|400px]]
[[File:Tractrixtrygif.gif|400px]]
莱布尼茨首先提出了跟踪曲线的问题。如上面的动画所展示。考虑水平地面上有一个物体，你用一根长长的细杆推动兼或拖拉着它。细杆的长度固定，一边连接着物体，而且连接处可以自由转动，另一端则被你手牵动着。当你沿着y=0这条直线匀速直线往前走的时候，那么这个物体在水平地面上运动后形成的轨迹就被称为'''跟踪曲线Tractrix'''<ref name=tractrix>{{cite wikipedia|title=Tractrix|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix}}</ref>。
下面，我们将列出这个曲线的方程，并根据这条曲线生成三维的双曲曲面。
如下图所示，根据跟踪曲线的含义，我们知道，物体的运动方向也就是曲线的切线方向，刚好与拖动的杆子（绳索）相重合，并且因为杆子的另一端始终在y＝0上面滑动，所以我们可以列出方程：
如下图所示，根据跟踪曲线的含义，我们知道，物体的运动方向也就是曲线的切线方向，刚好与拖动的杆子（绳索）相重合，并且因为杆子的另一端始终在y＝0上面滑动，所以我们可以列出方程：
[[File:Tractrixequationillustration.png|500px]]
[[File:Tractrixequationillustration.png|500px]]
根据简单的几何运算，我们知道这条曲线需要满足下面的方程：
根据简单的几何运算，我们知道这条曲线需要满足下面的方程：
dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}
dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}
</math>
</math>
其中a表示杆子的长度。当x=0时，杆子与y轴重合，于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1，我们可以求解出这个微分方程。
其中a表示杆子的长度。当x=0时，杆子与y轴重合，于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1，我们可以求解出这个微分方程。
x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.
x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.
</math>
</math>
不过，为了后面讨论方便，我们采用曲线的弧长作为参数，来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量，那么可以知道曲线的参数方程就变为：
不过，为了后面讨论方便，我们采用曲线的弧长作为参数，来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量，那么可以知道曲线的参数方程就变为：
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
==旋转跟踪曲面==
==旋转跟踪曲面==
让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为伪球面（pseudosphere）。如下图所示
让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为'''伪球面 pseudosphere'''。如下图所示
[[File:Pseudosphere-representation.png|400px|链接=Special:FilePath/Pseudosphere-representation.png]]
[[File:Pseudosphere-representation.png|400px|链接=Special:FilePath/Pseudosphere-representation.png]]
我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：
我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长，<math>\theta</math>就是曲线从开始绕着y＝0旋转的角度（如下图）。
其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长，<math>\theta</math>就是曲线从开始绕着y＝0旋转的角度（如下图）。
[[File:rotationtracixvoid.png|500px]]
[[File:rotationtracixvoid.png|500px]]
如果我们以<math>s, \theta</math>为自由参数，那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。
如果我们以<math>s, \theta</math>为自由参数，那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。
下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看[[空间曲面]]。
下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看[[空间曲面]]。
假设我们从任意点<math>s, \theta</math>出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，又包括了沿着<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：
假设我们从任意点<math>s, \theta</math>出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，又包括了沿着<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：
dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2
dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2
</math>
</math>
接下来，如果我们令<math>\gamma=e^{s}</math>，那么<math>d\gamma=e^{s}ds</math>，于是，我们就得到：
接下来，如果我们令<math>\gamma=e^{s}</math>，那么<math>d\gamma=e^{s}ds</math>，于是，我们就得到：
dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}
dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}
</math>
</math>
或者，也可以写作：
或者，也可以写作：
dl=\frac{\sqrt{d\gamma^2+d\theta^2}}{\gamma}
dl=\frac{\sqrt{d\gamma^2+d\theta^2}}{\gamma}
</math>
</math>
于是，我们就可以用新的坐标：<math>\gamma</math>和<math>\theta</math>作为坐标系，来刻画我们这个二维曲面。那么，根据[[空间曲面]]中的讨论，我们知道，这个新空间的度规矩阵可以是：
于是，我们就可以用新的坐标：<math>\gamma</math>和<math>\theta</math>作为坐标系，来刻画我们这个二维曲面。那么，根据[[空间曲面]]中的讨论，我们知道，这个新空间的度规矩阵可以是：
\right)
\right)
</math>
</math>
而这个新的空间就被称之为彭加莱平面，它是刻画二维双曲曲面的一种最常用的模型。
而这个新的空间就被称之为彭加莱平面，它是刻画二维双曲曲面的一种最常用的模型。
==彭加莱平面==
==彭加莱平面==
[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px|链接=Special:FilePath/800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png]]
[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px|链接=Special:FilePath/800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png]]
===定义===
===定义===
为了刻画双曲空间，人们发明了各种各样的模型，其中彭加莱平面（Poincare plane）是我们最常用的一个。上面我们只是用跟踪曲线作为一个引子将彭加莱平面模型给引出来。下面，我们来正式引入彭加莱平面二维双曲空间模型。
为了刻画双曲空间，人们发明了各种各样的模型，其中彭加莱平面（Poincare plane）是我们最常用的一个。上面我们只是用跟踪曲线作为一个引子将彭加莱平面模型给引出来。下面，我们来正式引入彭加莱平面二维双曲空间模型。
设曲面M，位于二维实数空间的上半平面上，即<math>M=\{(u,v)\in R^2 | v>0\}</math>，其中u,v是曲面的坐标。对于该曲面上的任意两个切向量<math>\textbf{w}_1,\textbf{w}_2</math>，我们定义度规g为：
设曲面M，位于二维实数空间的上半平面上，即<math>M=\{(u,v)\in R^2 | v>0\}</math>，其中u,v是曲面的坐标。对于该曲面上的任意两个切向量<math>\textbf{w}_1,\textbf{w}_2</math>，我们定义度规g为：
<math>g(\textbf{w}_1,\textbf{w}_2)=\frac{\textbf{w}_1\cdot \textbf{w}_2}{v^2}</math>
<math>g(\textbf{w}_1,\textbf{w}_2)=\frac{\textbf{w}_1\cdot \textbf{w}_2}{v^2}</math>
可以验证，这个度规g满足双线性的要求。这一具备该度规的曲面M被称为'''彭加莱平面'''。
可以验证，这个度规g满足双线性的要求。这一具备该度规的曲面M被称为'''彭加莱平面'''。
当给定切向量空间中的一组基以后，我们可以将度规表示为一个矩阵（因为度规是一个双线性映射）。即：
当给定切向量空间中的一组基以后，我们可以将度规表示为一个矩阵（因为度规是一个双线性映射）。即：
<math>g(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^TA\textbf{y}</math>
<math>g(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^TA\textbf{y}</math>
这里<math>\textbf{x},\textbf{y}</math>都是切向量，并在一组基下相应地展开了，A是度规g对应的矩阵。
这里<math>\textbf{x},\textbf{y}</math>都是切向量，并在一组基下相应地展开了，A是度规g对应的矩阵。
这样，比如普通的内积对应的矩阵就是单位阵，而彭加莱平面的矩阵就是：
这样，比如普通的内积对应的矩阵就是单位阵，而彭加莱平面的矩阵就是：
\right)
\right)
</math>
</math>
===曲线长度===
===曲线长度===
l_{hyp}=\int_a^b{\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}}dt
l_{hyp}=\int_a^b{\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}}dt
</math>
</math>
===测地线===
===测地线===
当P、Q两点位于垂直于X轴的同一条直线上的时候，穿过P、Q的测地线就是这条垂直于X轴的竖直线，它可以看作是一个半径为无穷大的圆。
当P、Q两点位于垂直于X轴的同一条直线上的时候，穿过P、Q的测地线就是这条垂直于X轴的竖直线，它可以看作是一个半径为无穷大的圆。
===双曲距离===
===双曲距离===
下面，我们考察空间中任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的距离。
下面，我们考察空间中任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的距离。
我们知道，PQ之间的双曲距离应该是连接P、Q两点的中心在x轴上面的半圆所对应的弧长。但是，我们并不能直接用这段弧长在欧氏空间下的弧长公式来计算，这是因为空间的度规不是欧氏的而是双曲的，因此我们应该沿着这段弧长对双曲度规做积分。我们设P、Q两点中心在x轴上的半圆的圆心O在<math>x_0</math>，半径为r，那么我们可以写出这个半圆所满足的参数方程为：
我们知道，PQ之间的双曲距离应该是连接P、Q两点的中心在x轴上面的半圆所对应的弧长。但是，我们并不能直接用这段弧长在欧氏空间下的弧长公式来计算，这是因为空间的度规不是欧氏的而是双曲的，因此我们应该沿着这段弧长对双曲度规做积分。我们设P、Q两点中心在x轴上的半圆的圆心O在<math>x_0</math>，半径为r，那么我们可以写出这个半圆所满足的参数方程为：
<math>x=x_0+r \mathrm{cos\,}\theta,y=r \mathrm{sin\,}\theta</math>
<math>x=x_0+r \mathrm{cos\,}\theta,y=r \mathrm{sin\,}\theta</math>
其中<math>x_0=\frac{x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2}{2(x_2＋x_1)}</math>，以及<math>r=\sqrt{y_1^2+\frac{(x_1-x_2)^2-y_1^2+y_2^2)^2}{4(x_1-x_2)^2}}</math>
其中<math>x_0=\frac{x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2}{2(x_2＋x_1)}</math>，以及<math>r=\sqrt{y_1^2+\frac{(x_1-x_2)^2-y_1^2+y_2^2)^2}{4(x_1-x_2)^2}}</math>
d_{hyp}(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}}{y}d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{\mathrm{sin\,}\theta}d\theta=\log\frac{\tan{\theta_2/2}}{\tan{\theta_1/2}}
d_{hyp}(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}}{y}d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{\mathrm{sin\,}\theta}d\theta=\log\frac{\tan{\theta_2/2}}{\tan{\theta_1/2}}
</math>
</math>
其中，<math>\theta_1</math>为P到O的直线与x轴的夹角，<math>\theta_2</math>为Q到O的直线与x轴的夹角，如下图：
其中，<math>\theta_1</math>为P到O的直线与x轴的夹角，<math>\theta_2</math>为Q到O的直线与x轴的夹角，如下图：
进一步，如果我们设P对应的二维坐标写成复数z，而Q则写成复数z'的形式，那么将上式化简，可得到：
进一步，如果我们设P对应的二维坐标写成复数z，而Q则写成复数z'的形式，那么将上式化简，可得到：
<math>
<math>
</math>
</math>
其中，<math>z=x_1+y_1i,z'=x_2+y_2i,\bar{z}'=x_2-y_2i</math>
其中，<math>z=x_1+y_1i,z'=x_2+y_2i,\bar{z}'=x_2-y_2i</math>
===等距变换===
===等距变换===
下面，我们可以看几个等距变换的实例：
下面，我们可以看几个等距变换的实例：
====同位变换（Homotheties）====
====同位变换 Homotheties====
所谓的同位变换，是指满足下列关系的变换：（<math>\phi(x,y)=(\lambda x,\lambda y)</math>），其中<math>\lambda</math>是变换中的参数。这种变换相当于以原点(0,0)为中心，向外放大几何图形。为什么说这是一种等距变换呢？这是因为对于任意的曲线<math>\gamma(t)</math>，那么它上面的所有店点经过变换<math>\phi</math>之后映射到了新的曲线，那么这条新曲线的长度为：
所谓的同位变换，是指满足下列关系的变换：（<math>\phi(x,y)=(\lambda x,\lambda y)</math>），其中<math>\lambda</math>是变换中的参数。这种变换相当于以原点(0,0)为中心，向外放大几何图形。为什么说这是一种等距变换呢？这是因为对于任意的曲线<math>\gamma(t)</math>，那么它上面的所有店点经过变换<math>\phi</math>之后映射到了新的曲线，那么这条新曲线的长度为：
由此可见，它并不改变曲线的长度。因此，对于任意两点之间的测地线来说，这个结论也满足，所以距离在这个变换下保持不变。
由此可见，它并不改变曲线的长度。因此，对于任意两点之间的测地线来说，这个结论也满足，所以距离在这个变换下保持不变。
====标准倒置变换====
====标准倒置变换====
\phi(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)
\phi(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)
</math>
</math>
在几何上，这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置（参见下面的讨论）。
在几何上，这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置（参见下面的讨论）。
[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px|链接=Special:FilePath/HyperbolicmodelInversePoints_701.gif]]
[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px|链接=Special:FilePath/HyperbolicmodelInversePoints_701.gif]]
如图所示，所谓P与P'关于圆O互为倒置，是指<math>|OP|\cdot |OP'|=r^2</math>，其中r为圆的半径。
如图所示，所谓P与P'关于圆O互为倒置，是指<math>|OP|\cdot |OP'|=r^2</math>，其中r为圆的半径。
为什么说这个变换是一个等距变换呢？我们仍然用任意一条曲线<math>\gamma(t)</math>来说明。假设曲线<math>\gamma: t \mapsto (x_1(t),y_1(t)), a\leq t\leq b</math>
为什么说这个变换是一个等距变换呢？我们仍然用任意一条曲线<math>\gamma(t)</math>来说明。假设曲线<math>\gamma: t \mapsto (x_1(t),y_1(t)), a\leq t\leq b</math>
x_1(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2+y(t)^2}, y_1(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2+y(t)^2}
x_1(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2+y(t)^2}, y_1(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2+y(t)^2}
</math>
</math>
于是，它们的导数分别是：
于是，它们的导数分别是：
将这两个式子化简，再相加到一起，得到：
将这两个式子化简，再相加到一起，得到：
<math>
<math>
所以，这是一个保距变换。
所以，这是一个保距变换。
====水平平移====
====水平平移====
容易验证，这种变换也是保距变换。
容易验证，这种变换也是保距变换。
====一般形式====
====一般形式====
反过来讲，对于任意的参数a,b,c,d上述两式都可以对应彭加莱平面中的等距变换。
反过来讲，对于任意的参数a,b,c,d上述两式都可以对应彭加莱平面中的等距变换。
===圆===
===圆===
我们可以让圆心P<sub>0</sub>取不同的位置，利用上述方程画出这些圆如下：
我们可以让圆心P<sub>0</sub>取不同的位置，利用上述方程画出这些圆如下：
[[File:hyperbolic_circles.png|400px]]
[[File:hyperbolic_circles.png|400px]]
另外一个有趣的事实是，双曲空间中的圆的圆心并不在表观圆的圆心上，而且这种偏离程度会随着y坐标轴的升高而增大。
另外一个有趣的事实是，双曲空间中的圆的圆心并不在表观圆的圆心上，而且这种偏离程度会随着y坐标轴的升高而增大。
==彭加莱圆盘==
==彭加莱圆盘==
[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px|链接=Special:FilePath/Escher_Circle_Limit_III.jpg]]
[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px|链接=Special:FilePath/Escher_Circle_Limit_III.jpg]]
虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间，但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端，我们可以再建立一种模型，这被称为彭加莱圆盘（Poincare disk，如上图）。为了得到彭加莱圆盘，我们首先要在(0,-1)的位置上，以<math>\sqrt{2}</math>为半径做一个圆。之后，我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置（inversion）操作，然后再对y＝0这个数轴做轴对称操作。
虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间，但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端，我们可以再建立一种模型，这被称为彭加莱圆盘（Poincare disk，如上图）。为了得到彭加莱圆盘，我们首先要在(0,-1)的位置上，以<math>\sqrt{2}</math>为半径做一个圆。之后，我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置inversion操作，然后再对y＝0这个数轴做轴对称操作。
我们不妨将这一变换称为J，然后看一些特殊的点在J的作用下映射到了哪里。我们先看原点(0,0)。它到圆心的距离为1，所以它的倒置操作的对应像应该在(0,1)这个位置上，把它沿着y=0轴翻转一下就得到了(0,-1)，所以(0,0)映射到了(0,-1)。我们再看看(-1,0)和(1,0)，不难看出它们都在这个J的映射作用下保持不变。而无穷大会对应到(0,1)这个点上。不难验证，所有彭加莱平面上的点在J的作用下之后形成了一个以原点为中心的单位圆。这个圆就被称为彭加莱元。
我们不妨将这一变换称为J，然后看一些特殊的点在J的作用下映射到了哪里。我们先看原点(0,0)。它到圆心的距离为1，所以它的倒置操作的对应像应该在(0,1)这个位置上，把它沿着y=0轴翻转一下就得到了(0,-1)，所以(0,0)映射到了(0,-1)。我们再看看(-1,0)和(1,0)，不难看出它们都在这个J的映射作用下保持不变。而无穷大会对应到(0,1)这个点上。不难验证，所有彭加莱平面上的点在J的作用下之后形成了一个以原点为中心的单位圆。这个圆就被称为彭加莱元。
如果我们用复数z来描述彭加莱平面上的所有点，那么变换J就可以写为下面这样的函数：
如果我们用复数z来描述彭加莱平面上的所有点，那么变换J就可以写为下面这样的函数：
J(z)=\frac{i z+1}{z+i}
J(z)=\frac{i z+1}{z+i}
</math>
</math>
我们不妨验证一下，将<math>z=0</math>代入上式就得到，<math>J(0)=-i</math>，这和上面得到的计算结果是一模一样的。
我们不妨验证一下，将<math>z=0</math>代入上式就得到，<math>J(0)=-i</math>，这和上面得到的计算结果是一模一样的。
实质上这个变换的本质就是在于将彭加莱平面的x轴沿着i这个点为中心卷起来，形成了彭加莱圆盘的外围的圆。
实质上这个变换的本质就是在于将彭加莱平面的x轴沿着i这个点为中心卷起来，形成了彭加莱圆盘的外围的圆。
===度规===
===度规===
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-x^2-y^2}</math>
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-x^2-y^2}</math>
其中g为P点处的度规，d(u,v)为欧氏空间下的两向量的内积。
其中g为P点处的度规，d(u,v)为欧氏空间下的两向量的内积。
如果用复数来表示坐标的话，那么度规为：
如果用复数来表示坐标的话，那么度规为：
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-|z|^2}</math>
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-|z|^2}</math>
我们也可以根据映射J，以及彭加莱平面的度规来计算出彭加莱圆盘的度规：
我们也可以根据映射J，以及彭加莱平面的度规来计算出彭加莱圆盘的度规：
ds^2=\frac{d\theta^2+r^2dr^2}{(1-r^2)^2}=\begin{pmatrix}d\theta&dr\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\theta\\dr\end{pmatrix}
ds^2=\frac{d\theta^2+r^2dr^2}{(1-r^2)^2}=\begin{pmatrix}d\theta&dr\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\theta\\dr\end{pmatrix}
</math>
</math>
===距离计算===
===距离计算===
其中，w为另一个点对应的复数。
其中，w为另一个点对应的复数。
===测地线===
===测地线===
因为从Poincare平面到Poincare圆盘的映射为一个等距映射，所以它将Poincare平面上的测地线也映射成为Poincare圆盘上的测地线。又因为在平面中的测地线是垂直于x轴的圆，所以在圆盘上，测地线为垂直于边界圆的圆。
因为从Poincare平面到Poincare圆盘的映射为一个等距映射，所以它将Poincare平面上的测地线也映射成为Poincare圆盘上的测地线。又因为在平面中的测地线是垂直于x轴的圆，所以在圆盘上，测地线为垂直于边界圆的圆。
===等距变换===
===等距变换===
|\alpha|^2-|\beta|^2=1
|\alpha|^2-|\beta|^2=1
</math>
</math>
===圆===
===圆===
最外圈的黑色的圆为彭加莱圆盘。其它的圆均是半径为0.6的圆，但是它们的圆心(a,b)位于不同的位置，圆心分别为：(0,0),(0,0.5),(0,0.9)以及(0.5,0.5)，我们可以看到，在双曲空间中，圆心并不位于圆的正中心，越靠近边缘，圆心越往外靠近边缘。而且，圆越靠近边缘，圆的表观大小也会变小。
最外圈的黑色的圆为彭加莱圆盘。其它的圆均是半径为0.6的圆，但是它们的圆心(a,b)位于不同的位置，圆心分别为：(0,0),(0,0.5),(0,0.9)以及(0.5,0.5)，我们可以看到，在双曲空间中，圆心并不位于圆的正中心，越靠近边缘，圆心越往外靠近边缘。而且，圆越靠近边缘，圆的表观大小也会变小。
====圆的周长和面积====
====圆的周长和面积====
不难用双曲空间中的圆方程证明，对于中心不在原点的圆，其直径和面积仍然是上述表达式。虽然我们不能将圆在不同位置平移，但是双曲空间的均匀性导致了圆的周长和面积是处处相等的。
不难用双曲空间中的圆方程证明，对于中心不在原点的圆，其直径和面积仍然是上述表达式。虽然我们不能将圆在不同位置平移，但是双曲空间的均匀性导致了圆的周长和面积是处处相等的。
==扩展的彭加莱圆盘==
==扩展的彭加莱圆盘==
我们知道由于<math>\tanh(x)</math>函数是一个S型函数，在x趋近于无穷大的时候，该函数值趋于1。所以，彭加莱圆盘具有1单位大小的半径。而在扩展的彭加莱圆盘中，该空间的圆半径为无穷大。因而，在彭加莱圆盘表示中，靠近边缘的点被极度地压缩了。而在扩展的模型中，就不会存在这种被极度压缩的现象。
我们知道由于<math>\tanh(x)</math>函数是一个S型函数，在x趋近于无穷大的时候，该函数值趋于1。所以，彭加莱圆盘具有1单位大小的半径。而在扩展的彭加莱圆盘中，该空间的圆半径为无穷大。因而，在彭加莱圆盘表示中，靠近边缘的点被极度地压缩了。而在扩展的模型中，就不会存在这种被极度压缩的现象。
===度规===
===度规===
ds=\sqrt{dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2}
ds=\sqrt{dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2}
</math>
</math>
===任意两点距离公式===
===任意两点距离公式===
其中，<math>\Delta \theta=\pi-|\pi-|\theta-\theta'||</math>
其中，<math>\Delta \theta=\pi-|\pi-|\theta-\theta'||</math>
故而两者相等。
故而两者相等。
====近似表达式====
====近似表达式====
<math>x\approx r+r'+2\log{\Delta\theta/2}</math>
<math>x\approx r+r'+2\log{\Delta\theta/2}</math>
====圆====
====圆====
这些圆中心的坐标分别为：(0,0) 蓝色, (5,10) 紫色,(-3,3) 黄色,(1,10) 绿色，这些圆的半径都是10。我们看到，越远离坐标中心，圆的扭曲也越厉害。
这些圆中心的坐标分别为：(0,0) 蓝色, (5,10) 紫色,(-3,3) 黄色,(1,10) 绿色，这些圆的半径都是10。我们看到，越远离坐标中心，圆的扭曲也越厉害。
==各个模型的比较==
==各个模型的比较==
这是在扩展彭加莱圆盘模型中的一组同心圆，也就是每一条曲线都是以彭加莱圆盘中的坐标原点为中心，到圆心的双曲距离分别为1，2，……，10的圆。当把这组曲线画在彭加莱平面中的时候，我们就看到了一组以(0,1)为中心的双曲空间中的圆曲线（在彭加莱平面中，双曲圆的中心并不是欧氏圆的中心），而在彭加莱圆盘模型中，这组圆从里往外变得越来越紧密，这说明彭加莱圆盘越到外围空间越紧密。
这是在扩展彭加莱圆盘模型中的一组同心圆，也就是每一条曲线都是以彭加莱圆盘中的坐标原点为中心，到圆心的双曲距离分别为1，2，……，10的圆。当把这组曲线画在彭加莱平面中的时候，我们就看到了一组以(0,1)为中心的双曲空间中的圆曲线（在彭加莱平面中，双曲圆的中心并不是欧氏圆的中心），而在彭加莱圆盘模型中，这组圆从里往外变得越来越紧密，这说明彭加莱圆盘越到外围空间越紧密。
==参考文献==
==参考文献==
<references/>
<references/>
==相关WIKI==
==另见==
*[[双曲空间模型]]
*[[双曲空间模型]]
*[[空间曲面]]
*[[空间曲面]]
== 编者推荐 ==
== 编者推荐 ==
===集智课程===
===集智文章===
*[https://swarma.org/?p=11059 学术前沿——双曲空间中的网络、单词及其知识图谱]
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[[category:双曲几何]]
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