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其中 <math>j(x)</math> 是“标度”函数，<math>\beta</math> 和<math>\delta</math> 是临界点指数。因此由({{EquationNote|2}})和({{EquationNote|7}})，当铁磁物质趋近于临界点时<math>(H\rightarrow 0</math> 且 <math>t\rightarrow 0)\ </math>，<math>\mid H\mid</math> 是 <math> t </math> 和 <math>\mid M\mid
其中 <math>j(x)</math> 是标度函数，<math>\beta</math> 和<math>\delta</math> 是临界点指数。因此由({{EquationNote|2}})和({{EquationNote|7}})，当铁磁物质趋近于临界点时<math>(H\rightarrow 0</math> 且 <math>t\rightarrow 0)\ </math>，<math>\mid H\mid</math> 是 <math> t </math> 和 <math>\mid M\mid
^{1/\beta}</math> 的 <math>\beta \delta\ </math> 次齐次函数。当 <math> x </math> 趋近于<math>-b\</math>（正常数）时，标度函数 <math>j(x)</math> 趋近于零；当 <math>x\rightarrow \infty\ </math>时，它依 <math>x^{\beta(\delta-1)}</math> 成比例发散（如图一），且 <math>j(0) = c\ </math>（正常数）。尽管({{EquationNote|7}})局限在临界点<math>(t, M, H</math> 都接近零）附近的极小范围内，但标度变量 <math>x = t/\mid M\mid ^{1/\beta}</math>却遍历<math>-b < x < \infty\</math>的无穷范围。
^{1/\beta}</math> 的 <math>\beta \delta\ </math> 次齐次函数。当 <math> x </math> 趋近于<math>-b\</math>（正常数）时，标度函数 <math>j(x)</math> 趋近于零；当 <math>x\rightarrow \infty\ </math>时，它依 <math>x^{\beta(\delta-1)}</math> 成比例发散（如图一），且 <math>j(0) = c\ </math>（正常数）。尽管({{EquationNote|7}})局限在临界点<math>(t, M, H</math> 都接近零）附近的极小范围内，但标度变量 <math>x = t/\mid M\mid ^{1/\beta}</math>却遍历<math>-b < x < \infty\</math>的无穷范围。
[[Image:scaling_laws_widom_nocaption_Fig1.png|thumb|300px|right|Scaling function
[[Image:scaling_laws_widom_nocaption_Fig1.png|thumb|300px|right|标度函数
<math>j(x)</math>|链接=Special:FilePath/Scaling_laws_widom_nocaption_Fig1.png]]
<math>j(x)</math>]]
其中 <math>k</math> 是'''[[玻尔兹曼常数]]'''，<math>\rm{d} \tau</math> 是体积元，积分区域是整个空间。对铁磁体也有相同的关系成立，包含磁化率 <math>\chi</math>，<math>\rho</math> 与临界密度 <math>\rho_c</math> 的差值，以及磁化强度 <math>M\ </math>。在临界点处，<math>\chi</math> 无穷大，且对应积分式也发散，因为衰减长度 <math>\xi</math> 也是无穷大的。而密度 <math>\rho</math>为有限正常数 <math>\rho_c</math>，<math>T</math> 为 <math>T_c\ </math>。{{NumBlk|:|<math>(2-\eta)\nu = \gamma . </math>|{{EquationRef|14}}}}The surface tension <math>\sigma</math> in liquid-vapor equilibrium, or the analogous excess free energy per unit area of the interface between coexisting, oppositely magnetized domains, vanishes at the critical point (Curie point) proportionally to <math>(-t)^\mu</math> with <math>\mu</math> another critical-point exponent. The interfacial region has a thickness of the order of the correlation length <math>\xi</math> so <math>\sigma/\xi</math> is the free energy per unit volume associated with the interfacial region. That is in its magnitude and in its singular critical-point behavior the same free energy per unit volume as in the bulk phases, from which the heat capacity follows by two differentiations with respect to the temperature. Thus, <math>\sigma/\xi</math> vanishes proportionally to <math>(-t)^{2-\alpha}\ ;</math> so, together with ({{EquationNote|1=9}}),
其中 <math>k</math> 是'''[[玻尔兹曼常数]]'''，<math>\rm{d} \tau</math> 是体积元，积分区域是整个空间。对铁磁体也有相同的关系成立，包含磁化率 <math>\chi</math>，<math>\rho</math> 与临界密度 <math>\rho_c</math> 的差值，以及磁化强度 <math>M\ </math>。在临界点处，<math>\chi</math> 无穷大，且对应积分式也发散，因为衰减长度 <math>\xi</math> 也是无穷大的。而密度 <math>\rho</math>为有限正常数 <math>\rho_c</math>，<math>T</math> 为 <math>T_c\ </math>。{{NumBlk|:|<math>(2-\eta)\nu = \gamma . </math>|{{EquationRef|14}}}}
液-气平衡时的表面张力 <math>\sigma</math>，或共存的、相反磁化畴之间的界面单位面积上的类似过剩自由能，在临界点(居里点)与 <math>(-t)^\mu</math>（<math>\mu</math>对应此处临界点指数）成比例消失。界面区域的厚度与关联长度 <math>\xi</math> 的数量级相当，因此 <math>\sigma/\xi</math> 是与界面区域相关的单位体积自由能。在它的大小和它的奇异临界点行为中，每单位体积的自由能和在体相中是一样的，从体相中，依据关于温度的两个微分可以得出热容。因此，<math>\sigma/\xi</math> 依 <math>(-t)^{2-\alpha}\ </math> 成比例消失；再联系({{EquationNote|1=9}})式可以得到另一个标度关系<ref>M.E. Fisher, J. Math. Phys. '''5''' (1964) 944.</ref>：{{NumBlk|:|<math>\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta,</math>|{{EquationRef|15}}}}
液-气平衡时的表面张力 <math>\sigma</math>，或共存的、相反磁化畴之间的界面单位面积上的类似过剩自由能，在临界点(居里点)与 <math>(-t)^\mu</math>（<math>\mu</math>对应此处临界点指数）成比例消失。界面区域的厚度与关联长度 <math>\xi</math> 的数量级相当，因此 <math>\sigma/\xi</math> 是与界面区域相关的单位体积自由能。在它的大小和它的奇异临界点行为中，每单位体积的自由能和在体相中是一样的，从体相中，依据关于温度的两个微分可以得出热容。因此，<math>\sigma/\xi</math> 依 <math>(-t)^{2-\alpha}\ </math> 成比例消失；再联系({{EquationNote|1=9}})式可以得到另一个标度关系<ref>M.E. Fisher, J. Math. Phys. '''5''' (1964) 944.</ref>：{{NumBlk|:|<math>\mu + \nu = 2-\alpha= \gamma +2\beta,</math>|{{EquationRef|15}}}}
在格子自旋模型（[[伊辛模型 Ising Model|'''伊辛模型''']]）中，假设有许多自旋块，每一个的线性尺寸为 <math>L\ </math>，因此包含 <math>L^d</math>，而 <math>L</math> 远小于发散关联长度 <math>\xi</math>（图2）。
在格子自旋模型（[[伊辛模型 Ising Model|'''伊辛模型''']]）中，假设有许多自旋块，每一个的线性尺寸为 <math>L\ </math>，因此包含 <math>L^d</math>，而 <math>L</math> 远小于发散关联长度 <math>\xi</math>（图2）。
[[Image:scaling_laws_widom_nocaption_Fig2.png|thumb|300px|right|Block spins]]
[[Image:scaling_laws_widom_nocaption_Fig2.png|thumb|300px|right|块旋转]]