更改

:<math>x(t)=0.</math>

:<math>x(t)=0.</math>

<math> x_{n+1}=f(x_n), \quad n=0,1,2,\ldots.</math>

:<math> x_{n+1}=f(x_n), \quad n=0,1,2,\ldots.</math>

可以这样描述：最初的原点（{{Math|0 ∈ '''R'''^''n''}} ） 是该动力系统的平衡点。当且仅当对于{{Math|''A''}}的所有特征值 {{Math|''λ''}} 有 {{Math|[[Real part|Re]](''λ'') < 0}} 时，这个解是随着{{Math|''t'' → ∞}}是渐近稳定的（未来趋势）。类似地，当且仅当对于 {{Math|''A''}} 的所有特征值 {{Math|''λ''}} 有{{Math|[[Real part|Re]](''λ'') > 0}} 时，系统随着{{Math|''t'' → -∞}}是渐近稳定的（负号表示方向指向过去趋势）。如果存在一个{{Math|''A''}}的特征值 {{Math|''λ''}} 使得 {{Math|[[Real part|Re]](''λ'') > 0}}，则该解在{{Math|''t'' → ∞}}时是不稳定的。

可以这样描述：最初的原点（{{Math|0 ∈ '''R'''^''n''}} ） 是该动力系统的平衡点。当且仅当对于{{Math|''A''}}的所有特征值 {{Math|''λ''}} 有 {{Math|Re(''λ'') < 0}} 时，这个解是随着{{Math|''t'' → ∞}}是渐近稳定的（未来趋势）。类似地，当且仅当对于 {{Math|''A''}} 的所有特征值 {{Math|''λ''}} 有{{Math|Re(''λ'') > 0}} 时，系统随着{{Math|''t'' → -∞}}是渐近稳定的（负号表示方向指向过去趋势）。如果存在一个{{Math|''A''}}的特征值 {{Math|''λ''}} 使得 {{Math|Re(''λ'') > 0}}，则该解在{{Math|''t'' → ∞}}时是不稳定的。

为了判定线性系统原点的稳定性，可以使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据<font color="#ff8000">Routh–Hurwitz stability criterion</font>，来将这一结果应用在实践中。矩阵的特征值是其特征多项式的根。如果所有根的实部都是严格负的，那么一个具有实系数的单变量多项式称为赫尔维茨多项式 <font color="#ff8000">Hurwitz polynomial</font> 。劳斯-赫尔维茨定理 <font color="#ff8000">Routh–Hurwitz theorem</font>通过一种避免计算根的算法来描述赫尔维茨多项式的特征。

为了判定线性系统原点的稳定性，可以使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据<font color="#ff8000">Routh–Hurwitz stability criterion</font>，来将这一结果应用在实践中。矩阵的特征值是其特征多项式的根。如果所有根的实部都是严格负的，那么一个具有实系数的单变量多项式称为赫尔维茨多项式 <font color="#ff8000">Hurwitz polynomial</font> 。劳斯-赫尔维茨定理 <font color="#ff8000">Routh–Hurwitz theorem</font>通过一种避免计算根的算法来描述赫尔维茨多项式的特征。

设{{Math|''J''_''p''(''v'')}}为向量场 {{Math|''v''}}在点{{Math|''p''}}的{{Math|''n''×''n''}}<font color="#ff8000">雅可比矩阵 Jacobian matrix</font>。如果{{Math|''J''}}的所有特征值都是严格负实部，则解是渐近稳定的。这个条件可以用劳斯-赫尔维茨准则来检验。

设{{Math|''J''_''p''(''v'')}}为向量场 {{Math|''v''}}在点{{Math|''p''}}的{{Math|''n''×''n''}}<font color="#ff8000">雅可比矩阵 Jacobian matrix</font>。如果{{Math|''J''}}的所有特征值都是严格负实部，则解是渐近稳定的。这个条件可以用劳斯-赫尔维茨准则来检验。

==Lyapunov function for general dynamical systems 一般动力系统的李雅普诺夫函数==

==Lyapunov function for general dynamical systems 一般动力系统的李雅普诺夫函数 ==

{{main|Lyapunov function}}

{{main|Lyapunov function}}

*[[von Neumann stability analysis 冯诺依曼稳定性分析]]

*[[von Neumann stability analysis 冯诺依曼稳定性分析]]

== References==

==References==

{{Reflist}}

{{Reflist}}

==External links==

==External links ==

*[http://demonstrations.wolfram.com/StableEquilibria/ Stable Equilibria] by Michael Schreiber, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

*[http://demonstrations.wolfram.com/StableEquilibria/ Stable Equilibria] by Michael Schreiber, [[The Wolfram Demonstrations Project]].