集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织

更改

稳定性理论 (查看源代码)

2022年3月22日 (二) 00:29的版本

删除1,113字节 、 2022年3月22日 (二) 00:29
无编辑摘要
第1行： 第1行：  
此词条由[[用户:Bnustv|Bnustv]]整理和审校
 
此词条由[[用户:Bnustv|Bnustv]]整理和审校
 
{{short description|Part of mathematics that addresses the stability of solutions}}
 
{{short description|Part of mathematics that addresses the stability of solutions}}
−
  −
{{For|the branch of model theory|stable theory}}
  −
      
在数学上，<font color="#ff8000">稳定性理论 Stability theory</font>被用于研究<font color="#ff8000">微分方程Differential equation</font>解的稳定性和<font color="#ff8000">动力系统 Dynamical system</font>在初始条件的微小扰动下轨迹的稳定性问题。例如，<font color="#ff8000">热传导方程 Heat equation</font>是一个稳定的偏微分方程，因为<font color="#ff8000">极大值原理 Maximum principle</font>的存在，初始数据的微小扰动会导致温度随之产生微小的变化。在偏微分方程中，人们可以使用 <math>Lp</math> 范数或 <math>sup</math> 范数来度量函数之间的距离，而在微分几何中，人们可以使用Gromov–Hausdorff距离来度量空间之间的距离。
 
在数学上，<font color="#ff8000">稳定性理论 Stability theory</font>被用于研究<font color="#ff8000">微分方程Differential equation</font>解的稳定性和<font color="#ff8000">动力系统 Dynamical system</font>在初始条件的微小扰动下轨迹的稳定性问题。例如，<font color="#ff8000">热传导方程 Heat equation</font>是一个稳定的偏微分方程，因为<font color="#ff8000">极大值原理 Maximum principle</font>的存在，初始数据的微小扰动会导致温度随之产生微小的变化。在偏微分方程中，人们可以使用 <math>Lp</math> 范数或 <math>sup</math> 范数来度量函数之间的距离，而在微分几何中，人们可以使用Gromov–Hausdorff距离来度量空间之间的距离。
第9行： 第6行：     
在动力系统中，如果一条<font color="#ff8000">轨道 Orbit</font>上任意点的前向轨道都处于一个足够小的邻域内，或者这条轨道整体停留在一个邻域（一般是较小的邻域，也有可能是较大的邻域）内，则称该轨道的状态为<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定 Lyapunov stable</font>。有各种标准来证明轨道的稳定性或不稳定性。在适当的条件下，这个问题可以简化为一个涉及矩阵<font color="#ff8000">特征值 Eigenvalue</font>的问题，关于这类矩阵特征值的问题已被大量研究并且该领域已经比较成熟。一种更一般的方法涉及<font color="#ff8000">李雅普诺夫函数 Lyapunov function</font>。在实践中，很多<font color="#ff8000">稳定性判据 Stability criterion</font>都可以使用，我们可以使用其中的任何一个作为判断系统稳定性的准则。
 
在动力系统中，如果一条<font color="#ff8000">轨道 Orbit</font>上任意点的前向轨道都处于一个足够小的邻域内，或者这条轨道整体停留在一个邻域（一般是较小的邻域，也有可能是较大的邻域）内，则称该轨道的状态为<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定 Lyapunov stable</font>。有各种标准来证明轨道的稳定性或不稳定性。在适当的条件下，这个问题可以简化为一个涉及矩阵<font color="#ff8000">特征值 Eigenvalue</font>的问题，关于这类矩阵特征值的问题已被大量研究并且该领域已经比较成熟。一种更一般的方法涉及<font color="#ff8000">李雅普诺夫函数 Lyapunov function</font>。在实践中，很多<font color="#ff8000">稳定性判据 Stability criterion</font>都可以使用，我们可以使用其中的任何一个作为判断系统稳定性的准则。
−
  −
   
[[File:Stability_Diagram.png|thumb|550px|稳定性图将<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font> 根据其特征划分为稳定或不稳定区间。如图可见，图中下半部分区域中系统的稳定性增加。<ref>[http://www.egwald.ca/linearalgebra/lineardifferentialequationsstabilityanalysis.php Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis] Accessed 10 October 2019.</ref>|链接=Special:FilePath/Stability_Diagram.png]]
 
[[File:Stability_Diagram.png|thumb|550px|稳定性图将<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font> 根据其特征划分为稳定或不稳定区间。如图可见，图中下半部分区域中系统的稳定性增加。<ref>[http://www.egwald.ca/linearalgebra/lineardifferentialequationsstabilityanalysis.php Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis] Accessed 10 October 2019.</ref>|链接=Special:FilePath/Stability_Diagram.png]]
   第16行： 第11行：  
常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法，开创了常微分方程定性理论，同时在分析中引入几何方法，搭建起分析与几何之间的沟通桥梁，带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人，他在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font>是由相空间中轨道运动定义的一种映射，是当轨道反复穿越同一截面时，反映后继点对先行点依赖关系的映射。一个连续非线性动力系统的求解是非常困难的，庞加莱给出了相图分析法。在相图中虽然不能定量地知道物理量随时间的变化，但可以定性地得到轨线的形态类型及其拓扑结构，从而了解动力系统运动的全局图像。为了更清楚了解高维相空间运动的形态，在连续运动的轨线上用一个截面（称庞加莱截面）将其横截，轨线在截面上穿过的情况就可以简捷地判断运动的形态。对于庞加莱映射是稳定的还是不稳定的判断则取决于其特征，如图所示，在相空间区间中向下的方向上稳定性增加。
 
常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法，开创了常微分方程定性理论，同时在分析中引入几何方法，搭建起分析与几何之间的沟通桥梁，带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人，他在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font>是由相空间中轨道运动定义的一种映射，是当轨道反复穿越同一截面时，反映后继点对先行点依赖关系的映射。一个连续非线性动力系统的求解是非常困难的，庞加莱给出了相图分析法。在相图中虽然不能定量地知道物理量随时间的变化，但可以定性地得到轨线的形态类型及其拓扑结构，从而了解动力系统运动的全局图像。为了更清楚了解高维相空间运动的形态，在连续运动的轨线上用一个截面（称庞加莱截面）将其横截，轨线在截面上穿过的情况就可以简捷地判断运动的形态。对于庞加莱映射是稳定的还是不稳定的判断则取决于其特征，如图所示，在相空间区间中向下的方向上稳定性增加。
   −
 
+
==动力系统概述==
−
==Overview in dynamical systems 动力系统概述 ==
  −
 
  −
 
      
微分方程和动力系统定性理论的许多部分关心系统或者方程解的渐近性质及其轨迹，这也意味着系统经过很长时间后会发生什么。系统最简单的行为表现为<font color="#ff8000">平衡点 Equilibrium points</font>或不动点，以及<font color="#ff8000">周期轨道 Periodic orbit</font>。如果我们已经很好地理解了一个特定的轨道，那么很自然地就会问下一个问题：初始条件的一个微小变化对于系统来说是否仍会保持类似的行为。稳定性理论解决了以下问题：附近的轨道是否会无限靠近给定的轨道？已知的轨道会收敛到给定的轨道吗？在前一种情况下，轨道被称为是<font color="#ff8000">稳定 Stable</font>的；在后一种情况下，轨道是<font color="#ff8000">渐近稳定 Asymptotically stable </font>的，并且收敛到给定的轨道称为<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>。
 
微分方程和动力系统定性理论的许多部分关心系统或者方程解的渐近性质及其轨迹，这也意味着系统经过很长时间后会发生什么。系统最简单的行为表现为<font color="#ff8000">平衡点 Equilibrium points</font>或不动点，以及<font color="#ff8000">周期轨道 Periodic orbit</font>。如果我们已经很好地理解了一个特定的轨道，那么很自然地就会问下一个问题：初始条件的一个微小变化对于系统来说是否仍会保持类似的行为。稳定性理论解决了以下问题：附近的轨道是否会无限靠近给定的轨道？已知的轨道会收敛到给定的轨道吗？在前一种情况下，轨道被称为是<font color="#ff8000">稳定 Stable</font>的；在后一种情况下，轨道是<font color="#ff8000">渐近稳定 Asymptotically stable </font>的，并且收敛到给定的轨道称为<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>。
−
  −
      
对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
 
对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
   −
* 如果对于任意（小的）<math>\epsilon > 0</math>，存在<math>\delta > 0 </math>，使得只要初始条件与平衡点的距离在<math> \delta </math>范围内，例如<math> \| f(t_0) - f_e \| < \delta</math>，就有，对任何<math> t \ge t_0 </math>满足解 <math>f(t) </math> 与平衡点的距离在 <math> \epsilon </math> 范围内，例如<math>\| f(t) - f_e \| < \epsilon</math>，那么该平衡点称为稳定的。
+
*如果对于任意（小的）<math>\epsilon > 0</math>，存在<math>\delta > 0 </math>，使得只要初始条件与平衡点的距离在<math> \delta </math>范围内，例如<math> \| f(t_0) - f_e \| < \delta</math>，就有，对任何<math> t \ge t_0 </math>满足解 <math>f(t) </math> 与平衡点的距离在 <math> \epsilon </math> 范围内，例如<math>\| f(t) - f_e \| < \epsilon</math>，那么该平衡点称为稳定的。
    
*如果该平衡点是稳定的，并且存在 <math>\delta_0 > 0</math>，使得对于任何<math>\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0 </math>，当<math>t \rightarrow \infty </math>时都有<math>f(t) \rightarrow f_e </math>，那么该平衡点是渐近稳定的。
 
*如果该平衡点是稳定的，并且存在 <math>\delta_0 > 0</math>，使得对于任何<math>\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0 </math>，当<math>t \rightarrow \infty </math>时都有<math>f(t) \rightarrow f_e </math>，那么该平衡点是渐近稳定的。
第35行： 第25行：  
稳定性理论的关键思想之一是用轨道附近系统的线性化，来分析轨道在扰动下的定性行为。特别地，在 n 维<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>的光滑动力系统的每个平衡点上，都存在一个 n×n 的矩阵 A，其特征值刻画了邻近点的动力学行为<font color="#ff8000">（Hartman-Grobman 定理 Hartman–Grobman theorem）</font>。更确切地说，如果矩阵所有的特征值都是负实数或实部为负的复数，那么这个平衡点就是一个稳定的吸引子，并且附近的点以指数速率收敛到它，参考<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定性 Lyapunov stability</font>和<font color="#ff8000">指数稳定性 Exponential stability</font>。如果所有的特征值都不是纯虚数(或零) ，那么吸引方向和排斥方向都与矩阵 A 的特征空间有关，其特征值的实部分别为负和正。对于更复杂的轨道上的扰动情形，也有类似的表述。
 
稳定性理论的关键思想之一是用轨道附近系统的线性化，来分析轨道在扰动下的定性行为。特别地，在 n 维<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>的光滑动力系统的每个平衡点上，都存在一个 n×n 的矩阵 A，其特征值刻画了邻近点的动力学行为<font color="#ff8000">（Hartman-Grobman 定理 Hartman–Grobman theorem）</font>。更确切地说，如果矩阵所有的特征值都是负实数或实部为负的复数，那么这个平衡点就是一个稳定的吸引子，并且附近的点以指数速率收敛到它，参考<font color="#ff8000">李雅普诺夫稳定性 Lyapunov stability</font>和<font color="#ff8000">指数稳定性 Exponential stability</font>。如果所有的特征值都不是纯虚数(或零) ，那么吸引方向和排斥方向都与矩阵 A 的特征空间有关，其特征值的实部分别为负和正。对于更复杂的轨道上的扰动情形，也有类似的表述。
   −
==Stability of fixed points 不动点稳定性==
+
==不动点稳定性==
    
最简单的一种轨道就是一个不动点，称为平衡态，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么只需要一个很小的推力就会导致局部运动的发生，例如，类似钟摆那样的小规模的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶的最高顶点上，一个极其微小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。
 
最简单的一种轨道就是一个不动点，称为平衡态，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么只需要一个很小的推力就会导致局部运动的发生，例如，类似钟摆那样的小规模的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶的最高顶点上，一个极其微小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。
第41行： 第31行：  
对于线性系统而言，存在许多行之有效的测试方法来检验线性系统的稳定性。非线性系统的稳定性通常可以首先考虑其线性化的系统，并从其线性化系统的稳定性中推断出原非线性系统的稳定性。
 
对于线性系统而言，存在许多行之有效的测试方法来检验线性系统的稳定性。非线性系统的稳定性通常可以首先考虑其线性化的系统，并从其线性化系统的稳定性中推断出原非线性系统的稳定性。
   −
 
+
===映射===
−
 
  −
===Maps 映射===
        第49行： 第37行：     
考虑一个通过迭代函数得到的动力系统:
 
考虑一个通过迭代函数得到的动力系统:
−
  −
  −
   
:<math> x_{n+1}=f(x_n), \quad n=0,1,2,\ldots.</math>
 
:<math> x_{n+1}=f(x_n), \quad n=0,1,2,\ldots.</math>
−
  −
  −
  −
  −
  −
  −
The fixed point {{Math|''a''}} is stable if the [[absolute value]] of the [[derivative]] of {{Math|''f''}} at {{Math|''a''}} is strictly less than 1, and unstable if it is strictly greater than 1. This is because near the point {{Math|''a''}}, the function {{Math|''f''}} has a [[linear approximation]] with slope {{Math|''f'''(''a'')}}:
  −
  −
The fixed point  is stable if the absolute value of the derivative of  at  is strictly less than 1, and unstable if it is strictly greater than 1. This is because near the point , the function  has a linear approximation with slope :
      
当函数 {{Math|''f''}} 在 {{Math|''a''}} 点的导数的绝对值严格小于1时，不动点是稳定的；当在 {{Math|''a''}} 点的导数严格大于1时是不稳定的。这是因为在这个点附近，函数的斜率具有的线性近似值为:
 
当函数 {{Math|''f''}} 在 {{Math|''a''}} 点的导数的绝对值严格小于1时，不动点是稳定的；当在 {{Math|''a''}} 点的导数严格大于1时是不稳定的。这是因为在这个点附近，函数的斜率具有的线性近似值为:
−
      
:<math> f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a). </math>
 
:<math> f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a). </math>
−
  −
      
因此
 
因此
    
:<math>x_{n+1}-x_{n} = f(x_n)-x_n \simeq f(a) + f'(a)(x_n-a)-x_n = a + f'(a)(x_n-a)-x_n = (f'(a)-1)(x_n-a) \to \frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_n-a}=f'(a)-1</math>
 
:<math>x_{n+1}-x_{n} = f(x_n)-x_n \simeq f(a) + f'(a)(x_n-a)-x_n = a + f'(a)(x_n-a)-x_n = (f'(a)-1)(x_n-a) \to \frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_n-a}=f'(a)-1</math>
−
  −
  −
  −
      
这意味着导数测量的是函数连续迭代接近或偏离不动点 {{Math|''a''}} 的速率。如果不动点 {{Math|''a''}} 处的导数恰好是1或-1，那么就需要更多的信息才能判断系统的稳定性。
 
这意味着导数测量的是函数连续迭代接近或偏离不动点 {{Math|''a''}} 的速率。如果不动点 {{Math|''a''}} 处的导数恰好是1或-1，那么就需要更多的信息才能判断系统的稳定性。
第88行： 第57行：  
对于{{Math|''J''}} 的最大特征值的绝对值等于1的情况，需要进一步研究。仅仅使用雅可比矩阵检验是无法确定稳定性类型的。同样的准则对光滑流形的微分同胚情况也有着广泛的适用性。
 
对于{{Math|''J''}} 的最大特征值的绝对值等于1的情况，需要进一步研究。仅仅使用雅可比矩阵检验是无法确定稳定性类型的。同样的准则对光滑流形的微分同胚情况也有着广泛的适用性。
   −
===Linear autonomous systems 线性自治系统===
+
===线性自治系统===
−
 
  −
 
      
利用常系数一阶线性微分方程组对应系数矩阵的特征值，可以分析其不动点的稳定性。
 
利用常系数一阶线性微分方程组对应系数矩阵的特征值，可以分析其不动点的稳定性。
第114行： 第81行：     
非线性系统不动点的渐近稳定性通常可以用 Hartman-Grobman 定理来判断。
 
非线性系统不动点的渐近稳定性通常可以用 Hartman-Grobman 定理来判断。
−
  −
        第124行： 第89行：  
:<math> x(t)=p.</math>
 
:<math> x(t)=p.</math>
   −
<math> x(t)=p.</math>
      
设{{Math|''J''<sub>''p''</sub>(''v'')}}为向量场 {{Math|''v''}}在点{{Math|''p''}}的{{Math|''n''×''n''}}<font color="#ff8000">雅可比矩阵 Jacobian matrix</font>。如果 {{Math|''J''}} 的所有特征值都具有严格负的实部，则系统的解是渐近稳定的。这个条件可以用劳斯-赫尔维茨判据<font color="#ff8000">Routh–Hurwitz stability criterion</font>来检验。
 
设{{Math|''J''<sub>''p''</sub>(''v'')}}为向量场 {{Math|''v''}}在点{{Math|''p''}}的{{Math|''n''×''n''}}<font color="#ff8000">雅可比矩阵 Jacobian matrix</font>。如果 {{Math|''J''}} 的所有特征值都具有严格负的实部，则系统的解是渐近稳定的。这个条件可以用劳斯-赫尔维茨判据<font color="#ff8000">Routh–Hurwitz stability criterion</font>来检验。
   −
==Lyapunov function for general dynamical systems 一般动力系统的李雅普诺夫函数 ==
+
==一般动力系统的李雅普诺夫函数==
       
建立动力系统的李雅普诺夫稳定性或渐近稳定的一般方法即是利用李亚普诺夫函数来分析。
 
建立动力系统的李雅普诺夫稳定性或渐近稳定的一般方法即是利用李亚普诺夫函数来分析。
   −
==See also 参见==
+
==拓展阅读==
    
*[[Asymptotic stability 渐近稳定性]]
 
*[[Asymptotic stability 渐近稳定性]]
第151行： 第115行：  
*[[von Neumann stability analysis 冯诺依曼稳定性分析]]
 
*[[von Neumann stability analysis 冯诺依曼稳定性分析]]
   −
==References==
+
==参考文献==
    
{{Reflist}}
 
{{Reflist}}
   −
*
+
==外部链接==
   −
 
+
*[http://demonstrations.wolfram.com/StableEquilibria/ Stable Equilibria] 源于Michael Schreiber，Wolfram示范项目。
−
==External links ==
  −
 
  −
*[http://demonstrations.wolfram.com/StableEquilibria/ Stable Equilibria] by Michael Schreiber, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
      
[[分类:Stability theory| ]]
 
[[分类:Stability theory| ]]
第166行： 第127行：  
[[Category:Limit sets]]
 
[[Category:Limit sets]]
   −
Category:Limit sets
+
[[Category:Mathematical and quantitative methods (economics)]]
    
类别: 极限集
 
类别: 极限集
−
  −
[[Category:Mathematical and quantitative methods (economics)]]
  −
  −
Category:Mathematical and quantitative methods (economics)
      
类别: 数学和定量方法(经济学)
 
类别: 数学和定量方法(经济学)
−
  −
<noinclude>
  −
  −
<small>This page was moved from [[wikipedia:en:Stability theory]]. Its edit history can be viewed at [[稳定性理论/edithistory]]</small></noinclude>
  −
  −
[[Category:待整理页面]]
 
Bnustv
65

个编辑

取自“https://wiki.swarma.org/index.php/特殊:移动版差异/29398”