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== 简单应用==
== 简单应用==
[[文件:对二维伊辛系统，通过确定重整化变换后的R函数的不动点，可以获得系统的临界温度(a)和临界外场强度(b).png|缩略图|对二维伊辛系统，通过确定重整化变换后的R函数的不动点，可以获得系统的(a)临界温度和(b)临界外场强度]]
[[文件:对二维伊辛系统，通过确定重整化变换后的R函数的不动点，可以获得系统的临界温度(a)和临界外场强度(b).png|缩略图|对二维伊辛系统，通过确定重整化变换后的R函数的不动点，可以获得系统的(a)临界温度和(b)临界外场强度]]
上面所给出的重整化群变换关系，具有一系列非常好的性质，可以帮助我们确定系统临界点，求解临界指数，下面仍以二维伊辛模型为例进行分析。
首先我们可以定义系统第二大本征值和第一大本征值之比<math>r\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=\sigma_2 / \sigma_1</math>，作为描述系统临界性质的一个标度函数。该标度函数经过重整化变换之后与变换之前的比值<math>R</math>，在临界点处具有不动点。即<math>R\left(t, h ; \frac{L}{\widetilde{a}}, b\right)=\frac{r(t, h ; L / \widetilde{a})}{r(r, h ; L / b \widetilde{a})}</math>。
在<math>t=0</math>或者<math>h=h_c</math>时，<math>R</math>的值与重整化参数<math>b</math>无关，并且<math>R_c=1</math>；根据此性质，我们可以做出不同参数<math>b</math>下的<math>R</math>曲线，根据曲线的交点所对应的温度或者外场强度来确定系统的临界点。
当系统外场（<math>h=0</math>）不变，温度为<math>t_0</math>时，根据系统本征值在重整化群变换下的关系可知：
<math>\sigma_1^b\left(t_0, 0 ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=b^{\frac{\beta}{v}} \sigma_1\left(t_0, 0 ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)</math>。
同时，如果我们考虑一个尺寸为<math>\frac{L}{b \tilde{a}}</math>的系统的本征值<math>\sigma_1\left(t, 0 ; \frac{L}{b \tilde{a}}\right)</math>。通过调节该系统的温度，使得有<math>\sigma_1^b\left(t_0, 0 ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=\sigma_1\left(t_0^b, 0 ; \frac{L}{b \tilde{a}}\right)</math>。则可求得系统的临界指数<math>v</math>为<math>v=\ln b / \ln \left(t_0^b / t_0\right)</math>，同理在只考虑外场时，将有<math>v_h=\ln b / \ln \left(h_0^b / h_0\right)</math>。
[[文件:在不同t_0下二维Ising模型时的解.png|缩略图|<math>\sigma_1(t, 0 ; L / b \tilde{a})=\sigma_1^b\left(t_0, 0 ; L / \tilde{a}\right)</math>在不同<math>t_0</math>下二维Ising模型时的解]]
右图展现了在<math>b=2</math>，不同的<math>t_0</math>下，通过寻找<math>\sigma_1^b\left(t_0, 0 ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)</math>和<math>\sigma_1\left(t_0^b, 0 ; \frac{L}{b \tilde{a}}\right)</math>的交点所对应的<math>t_0^b</math>，求得二维伊辛模型有<math>v=\frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{0.02}{0.01}\right)}=\frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{0.04}{0.02}\right)}=\frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{0.06}{0.03}\right)}=\frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{0.08}{0.04}\right)}=\frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{0.1}{0.05}\right)}=1</math>。
这里提出的本征微观态重整化群理论，规避了传统理论需知道系统的哈密尔顿量、微观态的概率分布和序参量的要求，能统一地研究平衡和非平衡复杂系统的临界行为。
= 应用 =
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