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= 本征微观态及其演化 =

= 本征微观态及其演化 =

对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。

对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。

一个主体<math>i</math>的平均状态是

一个主体<math>i</math>的平均状态是

<math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：

<math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：

<math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。

<math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。

有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中

有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中

<math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。

<math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。

<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。

<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。

以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math> 。相关矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>有<math>M</math>个特征向量<math>V_J</math>，其中<math>J = 1, 2, ⋯ , M</math>，我们可以用它们组成一个<math>M×M</math>的单元矩阵

以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math> 。相关矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>有<math>M</math>个特征向量<math>V_J</math>，其中<math>J = 1, 2, ⋯ , M</math>，我们可以用它们组成一个<math>M×M</math>的单元矩阵

<math>\boldsymbol{V}=\left[\boldsymbol{V}_1 \boldsymbol{V}_2 \ldots \boldsymbol{V}_M\right]</math>

<math>\boldsymbol{V}=\left[\boldsymbol{V}_1 \boldsymbol{V}_2 \ldots \boldsymbol{V}_M\right]</math>

此外，我们在这里考虑动态微观态<math>δS_i</math>和<math>δS_j</math>之间的相关性：<math>\begin{eqnarray}{{\boldsymbol{S}}}_{j}^{{{T}}}=\displaystyle \sum _{t=1}^{M}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{j}(t)\end{eqnarray}</math>。以<math>K_{ij}</math>为元素，我们可以得到一个<math>N×N</math>的动态微观态的相关矩阵：

此外，我们在这里考虑动态微观态<math>δS_i</math>和<math>δS_j</math>之间的相关性：<math>\begin{eqnarray}{{\boldsymbol{S}}}_{j}^{{{T}}}=\displaystyle \sum _{t=1}^{M}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{j}(t)\end{eqnarray}</math>。以<math>K_{ij}</math>为元素，我们可以得到一个<math>N×N</math>的动态微观态的相关矩阵：

<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{K}}={C}_{0}{\boldsymbol{A}}\cdot {\boldsymbol{A}}^{T}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{K}={\sum }_{t=1}^{N}{K}_{ii}={C}_{0}</math>。相关矩阵<math>\boldsymbol{K}</math>有<math>N</math>个特征向量<math>U_I</math>，其中<math>I = 1, 2, ⋯ , N</math>，我们可以用它们组成一个<math>N×N</math>的单元矩阵

<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{K}}={C}_{0}{\boldsymbol{A}}\cdot {\boldsymbol{A}}^{T}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{K}={\sum }_{t=1}^{N}{K}_{ii}={C}_{0}</math>。相关矩阵<math>\boldsymbol{K}</math>有<math>N</math>个特征向量<math>U_I</math>，其中<math>I = 1, 2, ⋯ , N</math>，我们可以用它们组成一个<math>N×N</math>的单元矩阵

<math>\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \ldots \boldsymbol{U}_N\right]</math>。

<math>\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \ldots \boldsymbol{U}_N\right]</math>。

根据奇异值分解<ref>{{cite book |last=Strang| first=Gilbert | title=Introduction to Linear Algebra, 4th edn |year=2009 | pages=284}}</ref>，系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>可以被分解为<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{A}}={\boldsymbol{U}}\cdot {\boldsymbol{\Sigma }}\cdot {{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}}，\end{eqnarray}</math>

根据奇异值分解<ref>{{cite book |last=Strang| first=Gilbert | title=Introduction to Linear Algebra, 4th edn |year=2009 | pages=284}}</ref>，系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>可以被分解为<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{A}}={\boldsymbol{U}}\cdot {\boldsymbol{\Sigma }}\cdot {{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}}，\end{eqnarray}</math>

对<math>\boldsymbol{A}</math>进行奇异值分解，统计系综可被分解为：

对<math>\boldsymbol{A}</math>进行奇异值分解，统计系综可被分解为<math>A=\sum_{i=1}^r \sigma_i U_i \otimes V_i</math>。

 

 

<math>A=\sum_{i=1}^r \sigma_i U_i \otimes V_i</math>

 

 

 

 

用这样的方法，可以将原来相互关联的微观态转变为相互独立的本征微观态，就可以将最初的微观态用本征微观态进行线性组合，这个线性组合的大小与本征值<math>\sigma_i</math>（即权重因子）成正比，即<math>\sigma_i</math>越大，占比越多。

用这样的方法，可以将原来相互关联的微观态转变为相互独立的本征微观态，就可以将最初的微观态用本征微观态进行线性组合，这个线性组合的大小与本征值<math>\sigma_i</math>（即权重因子）成正比，即<math>\sigma_i</math>越大，占比越多。

== 本征微观态和相变的凝聚 ==

== 本征微观态和相变的凝聚 ==

一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态，但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。

一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态，但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。

如果一个概率振幅<math>σ</math>成为主导，以至于它在<math>M → ∞</math>和<math>N → ∞</math>时能够取得一个有限的极限，那么在统计集合中就会出现本征微观态<math>{\boldsymbol{A}}_{I}^{e}</math>的凝聚，这类似于玻色气体里的玻色-爱因斯坦凝聚。一个本征微观态的凝聚，表现为有限比例的无限本征微观态共享这个本征微观态。一个新的相将出现在系统中，而新相的特征是本征微观态<math>U_I</math>，新相的演变，可以通过<math>V_I</math>来描述。

如果一个概率振幅<math>σ</math>成为主导，以至于它在<math>M → ∞</math>和<math>N → ∞</math>时能够取得一个有限的极限，那么在统计集合中就会出现本征微观态<math>{\boldsymbol{A}}_{I}^{e}</math>的凝聚，这类似于玻色气体里的玻色-爱因斯坦凝聚。一个本征微观态的凝聚，表现为有限比例的无限本征微观态共享这个本征微观态。一个新的相将出现在系统中，而新相的特征是本征微观态<math>U_I</math>，新相的演变，可以通过<math>V_I</math>来描述。