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对于开放、广泛、处于非平衡态的复杂系统，研究者们往往难以得到它们的哈密顿量、统计分布、序参量。虽然可获取的试验与观测数据越来越多，但如何更好地从这些数据出发，研究复杂系统的集体行为或相变与临界现象，却依然是一道难题。

对于开放、广泛、处于非平衡态的复杂系统，研究者们往往难以得到它们的哈密顿量、统计分布、序参量。虽然可获取的试验与观测数据越来越多，但如何更好地从这些数据出发，研究复杂系统的集体行为或相变与临界现象，却依然是一道难题。

针对该问题，北京师范大学陈晓松教授与其合作者们提出了一个解决方案<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，即本征微观态方法。他们从吉布斯所提出的统计系综理论出发，基于复杂系统个体的观测或模拟数据，构建复杂系统的微观态和统计系综。以描述系统微观态的高维向量作为列，系统个体的演化序列作为行，来得到归一的统计系综矩阵。他们利用奇异值分解方法，分解统计系综矩阵，很好地研究了复杂系统中本征微观态的凝聚与系统的相变。

针对该问题，北京师范大学陈晓松教授与其合作者们提出了一个解决方案<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，即'''本征微观态'''方法。他们从吉布斯所提出的统计系综理论出发，基于复杂系统个体的观测或模拟数据，构建复杂系统的微观态和统计系综。以描述系统微观态的高维向量作为列，系统个体的演化序列作为行，来得到归一的统计系综矩阵。他们利用奇异值分解方法，分解统计系综矩阵，很好地研究了复杂系统中本征微观态的凝聚与系统的相变。

更进一步地，陈晓松教授与其合作者们提出了本征微观态重整化群理论<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>，研究卡丹诺夫重整化群变换下本征微观态的非平庸不动点，从而对统一地处理广泛的平衡和非平衡复杂系统临界现象提供了有力的见解。

更进一步地，陈晓松教授与其合作者们提出了'''本征微观态重整化群理论'''<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>，研究卡丹诺夫重整化群变换下本征微观态的非平庸不动点，从而对统一地处理广泛的平衡和非平衡复杂系统临界现象提供了有力的见解。

陈晓松教授团队成功地将本征微观态方法应用于二维伊辛模型、地球表面温度、中国股票价格等三类不同领域的复杂系统<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，胡進錕等亦将此方法应用至美国民航延误的研究<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>中，这揭示了这些系统的集体行为和它们的相变与临界现象，证实了该理论框架可用于一般平衡和非平衡系统。

陈晓松教授团队成功地将本征微观态方法应用于二维伊辛模型、地球表面温度、中国股票价格等三类不同领域的复杂系统<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，胡進錕等亦将此方法应用至美国民航延误的研究<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>中，这揭示了这些系统的集体行为和它们的相变与临界现象，证实了该理论框架可用于一般平衡和非平衡系统。

= 理论背景 =

= 理论背景 =

如果我们用概率来描述热系统，采用的方法一般是，设想一次又一次地重复某一个实验，来测量某一个系统的某一种性质，因为我们无法控制它们的微观性质（由系统的微观态所描述），在尝试表述这个方法时，乔赛亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在1902年提出了系综的概念 <ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=[[Elementary Principles in Statistical Mechanics]] |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York}}</ref>。这是一种理想化的方法，在该方法中他考虑对系统进行大量想象的“影印”，其中每一个都代表了该系统所处的一个可能状态。

如果我们用概率来描述热系统，采用的方法一般是，设想一次又一次地重复某一个实验，来测量某一个系统的某一种性质，因为我们无法控制它们的微观性质（由系统的微观态所描述），在尝试表述这个方法时，乔赛亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在1902年提出了系综的概念 <ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=[[Elementary Principles in Statistical Mechanics]] |year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York}}</ref>。这是一种理想化的方法，在该方法中他考虑对系统进行大量想象的“影印”，其中每一个都代表了该系统所处的一个可能状态。

在物理学，特别是在统计物理学中，在统计物理中，系综代表一定条件下，一个体系的大量可能状态的集合。换句话说，系综是系统状态的一个概率分布。对一相同性质的体系，其微观状态（比如每个粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。更进一步地说，统计系综是统计力学中用来描述单一系统的一组粒子系统 <ref name="ensamble dictionary">{{cite book |last=Rennie| first=Richard | author2=Jonathan Law| title=Oxford Dictionary of Physcis |year=2019 | isbn=978-0198821472 | pages=458 ff}}</ref>。

在物理学，特别是在统计物理学中，在统计物理中，'''系综'''代表一定条件下，一个体系的大量可能状态的集合。换句话说，系综是系统状态的一个概率分布。对一相同性质的体系，其微观状态（比如每个粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。更进一步地说，统计系综是统计力学中用来描述单一系统的一组粒子系统 <ref name="ensamble dictionary">{{cite book |last=Rennie| first=Richard | author2=Jonathan Law| title=Oxford Dictionary of Physcis |year=2019 | isbn=978-0198821472 | pages=458 ff}}</ref>。

下面举一个例子来说明这样的表述。考虑抛一枚硬币的实验，这样一个简单的实验只有两种可能的结果，“正面”或“反面”<ref group=注>我们在这里不考虑“硬币立在桌子上”这种可能性极小的事件。</ref>。原则上，如果我们能够确切地知道硬币是如何被抛出的，以及与硬币和桌子相互作用力等等信息，那么只要根据经典力学的理论进行一定的计算，实验的结果应该是完全可以预测的。实际上，关于这个实验详细的、精确的信息是无法获取的。所以对于某一次实验结果，我们不可能作出唯一的预测，可是实验的统计表述却是比较简单的。

下面举一个例子来说明这样的表述。考虑抛一枚硬币的实验，这样一个简单的实验只有两种可能的结果，“正面”或“反面”<ref group=注>我们在这里不考虑“硬币立在桌子上”这种可能性极小的事件。</ref>。原则上，如果我们能够确切地知道硬币是如何被抛出的，以及与硬币和桌子相互作用力等等信息，那么只要根据经典力学的理论进行一定的计算，实验的结果应该是完全可以预测的。实际上，关于这个实验详细的、精确的信息是无法获取的。所以对于某一次实验结果，我们不可能作出唯一的预测，可是实验的统计表述却是比较简单的。

现在考虑稍微复杂一点的掷N枚硬币的实验，由于抛掷任何一枚硬币都有两个可能的结果，那么掷N枚硬币就可以出现<math>2×2×2×…×2=2^N</math>个可能结果中的任何一个。如果不是只讨论一组<math>N</math>枚硬币，而是考虑<math>N</math>个这样的组（每组有<math>N</math>枚硬币）所组成的系综，每组都以相似的方式抛掷硬币，那么值得我们探究的问题便是，<math>2^N</math>个可能结果中，任何一个特殊的结果在系综中出现的概率为多大。

现在考虑稍微复杂一点的掷N枚硬币的实验，由于抛掷任何一枚硬币都有两个可能的结果，那么掷N枚硬币就可以出现<math>2×2×2×…×2=2^N</math>个可能结果中的任何一个。如果不是只讨论一组<math>N</math>枚硬币，而是考虑<math>N</math>个这样的组（每组有<math>N</math>枚硬币）所组成的系综，每组都以相似的方式抛掷硬币，那么值得我们探究的问题便是，<math>2^N</math>个可能结果中，任何一个特殊的结果在系综中出现的概率为多大。

“平衡系综”的概念对统计系综的许多应用至关重要。如果每一时刻体系的统计系综中，呈现任一特殊事件的体系数目是一样的（或等价地表示为：如果这个系综中任一特殊事件出现的概率与时间无关），那么就说这个系综是与时间无关的。换句话说，尽管一个机械系统肯定会随着时间的推移而演变，但系综并不一定会发生演变。事实上，如果系综包含了系统的所有过去和未来阶段，那么它就不会演变。这样的统计描述就为平衡提供一个非常清楚的定义：如果孤立宏观体系的一个统计系综是与时间无关的，那么这样一个体系就称为处于平衡<ref name="gibbs" />。

“'''平衡系综'''”的概念对统计系综的许多应用至关重要。如果每一时刻体系的统计系综中，呈现任一特殊事件的体系数目是一样的（或等价地表示为：如果这个系综中任一特殊事件出现的概率与时间无关），那么就说这个系综是与时间无关的。换句话说，尽管一个机械系统肯定会随着时间的推移而演变，但系综并不一定会发生演变。事实上，如果系综包含了系统的所有过去和未来阶段，那么它就不会演变。这样的统计描述就为平衡提供一个非常清楚的定义：如果孤立宏观体系的一个统计系综是与时间无关的，那么这样一个体系就称为处于平衡<ref name="gibbs" />。

吉布斯定义了三种主要的系综<ref name="gibbs"/>：

吉布斯定义了三种主要的系综<ref name="gibbs"/>：

（1）微正则系综（microcanonical ensemble）：系综里的每个体系具有相同的能量<ref name="gibbs"/>。

（1）'''微正则系综'''（microcanonical ensemble）：系综里的每个体系具有相同的能量<ref name="gibbs"/>。

（2）正则系综（canonical ensemble）：系综里的各体系可以和外界环境交换能量，这种能量交换将确定（并且定义）了系统的温度<ref name="gibbs"/>。

（2）'''正则系综'''（canonical ensemble）：系综里的各体系可以和外界环境交换能量，这种能量交换将确定（并且定义）了系统的温度<ref name="gibbs"/>。

（3）巨正则系综（grand canonical ensemble）：是正则系综的推广，各体系可以和外界环境交换能量和粒子，但系综内各个体系有相同的温度和化学势<ref name="gibbs"/>。

（3）'''巨正则系综'''（grand canonical ensemble）：是正则系综的推广，各体系可以和外界环境交换能量和粒子，但系综内各个体系有相同的温度和化学势<ref name="gibbs"/>。

在系综中，物理量的变化范围与其本身大小的比值会随着体系的增大而减小。那么对于一个宏观体系来说，从各种系综计算出的物理量的差异将趋于零。

在系综中，物理量的变化范围与其本身大小的比值会随着体系的增大而减小。那么对于一个宏观体系来说，从各种系综计算出的物理量的差异将趋于零。

== 相变 ==

== 相变 ==

[[文件:Nomenclature for the different phase transitions.png|300px|thumb|right|此图显示了不同相变的命名法]]

[[文件:Nomenclature for the different phase transitions.png|300px|thumb|right|此图显示了不同相变的命名法]]

举例来说，热力学系统的一个阶段和物质状态具有统一的物理特性。在某一介质的相变过程中，由于外部条件的变化，如温度、压强或其他条件的变化，介质的某些属性发生的变化，往往是不连续的。比如液体在加热到沸点时，可能变成气体，导致体积的突然变化。这种对发生转变的外部条件的测度，称为相变。相变通常发生在自然界中，并且今天在许多技术中也常常被使用。

举例来说，热力学系统的一个阶段和物质状态具有统一的物理特性。在某一介质的相变过程中，由于外部条件的变化，如温度、压强或其他条件的变化，介质的某些属性发生的变化，往往是不连续的。比如液体在加热到沸点时，可能变成气体，导致体积的突然变化。这种对发生转变的外部条件的测度，称为相变。相变通常发生在自然界中，并且今天在许多技术中也常常被使用。

保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）提出了如下关于相变的一种分类 <ref name="ReferenceA">{{cite journal|last1=Jaeger|first1=Gregg|title=The Ehrenfest Classification of Phase Transitions: Introduction and Evolution|journal=Archive for History of Exact Sciences|date=1 May 1998|volume=53|issue=1|pages=51–81|doi=10.1007/s004070050021|s2cid=121525126}}</ref> ：相变的级（order）是在<math>T_C</math>处吉布斯自由能<math>G</math>（或者<math>\mu</math>）的微分显示不连续性的最低的阶数。那么一级相变（rstorder phase transition）包含潜热，因为熵<math>S</math>（<math>G</math>的一阶微分）此时显示出不连续性，体积<math>V</math>（也是<math>G</math>的一阶微分）也显示出一个并不连续的跳跃 <ref name="Blundell">{{Cite book | last = Blundell | first = Stephen J. |author2=Katherine M. Blundell | title = Concepts in Thermal Physics | publisher = Oxford University Press | year = 2008 | isbn = 978-0-19-856770-7}}</ref>。热容<math>C</math>是<math>G</math>的二阶微分，并且也显示出一个尖锐的跳跃，压缩系数<math>\beta</math>也是如此。一级相变的例子包括固液相变、固气相变以及气液相变。

保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）提出了如下关于相变的一种分类 <ref name="ReferenceA">{{cite journal|last1=Jaeger|first1=Gregg|title=The Ehrenfest Classification of Phase Transitions: Introduction and Evolution|journal=Archive for History of Exact Sciences|date=1 May 1998|volume=53|issue=1|pages=51–81|doi=10.1007/s004070050021|s2cid=121525126}}</ref> ：相变的级（order）是在<math>T_C</math>处吉布斯自由能<math>G</math>（或者<math>\mu</math>）的微分显示不连续性的最低的阶数。那么'''一级相变'''（rstorder phase transition）包含潜热，因为熵<math>S</math>（<math>G</math>的一阶微分）此时显示出不连续性，体积<math>V</math>（也是<math>G</math>的一阶微分）也显示出一个并不连续的跳跃 <ref name="Blundell">{{Cite book | last = Blundell | first = Stephen J. |author2=Katherine M. Blundell | title = Concepts in Thermal Physics | publisher = Oxford University Press | year = 2008 | isbn = 978-0-19-856770-7}}</ref>。热容<math>C</math>是<math>G</math>的二阶微分，并且也显示出一个尖锐的跳跃，压缩系数<math>\beta</math>也是如此。一级相变的例子包括固液相变、固气相变以及气液相变。

根据埃伦费斯特的分类，二级相变（second-order phase transition）没有潜热，因为熵<math>S</math>没有显示出不连续性，并且体积<math>V</math>也没有不连续性，但是如热容<math>C</math>和压缩系数<math>\beta</math>等量却依然不连续 <ref name = Blundell>{{Cite book | last = Blundell | first = Stephen J. |author2=Katherine M. Blundell | title = Concepts in Thermal Physics | publisher = Oxford University Press | year = 2008 | isbn = 978-0-19-856770-7}}</ref>。二级相变的例子包括超导相变，或者<math>\beta</math>黄铜中的有序无序转变。

根据埃伦费斯特的分类，'''二级相变'''（second-order phase transition）没有潜热，因为熵<math>S</math>没有显示出不连续性，并且体积<math>V</math>也没有不连续性，但是如热容<math>C</math>和压缩系数<math>\beta</math>等量却依然不连续 <ref name = Blundell>{{Cite book | last = Blundell | first = Stephen J. |author2=Katherine M. Blundell | title = Concepts in Thermal Physics | publisher = Oxford University Press | year = 2008 | isbn = 978-0-19-856770-7}}</ref>。二级相变的例子包括超导相变，或者<math>\beta</math>黄铜中的有序无序转变。

然而，在研究相变时我们所使用的这种方法，存在一个很大的问题。我们在热力学中常所作这样一个近似，粒子的数目很大，以至于平均性质（如压强和密度）能够被很好地定义，但这种近似在相变时将会失效。在接近相变时，涨落增加，所以在非常接近相变温度时，系统的行为并不遵循我们所预期的分析。在所有的长度标度下，这个临界区域会由涨落所表征。

然而，在研究相变时我们所使用的这种方法，存在一个很大的问题。我们在热力学中常所作这样一个近似，粒子的数目很大，以至于平均性质（如压强和密度）能够被很好地定义，但这种近似在相变时将会失效。在接近相变时，涨落增加，所以在非常接近相变温度时，系统的行为并不遵循我们所预期的分析。在所有的长度标度下，这个临界区域会由涨落所表征。

== 临界点与临界现象 ==

== 临界点与临界现象 ==

在热力学中，一个临界点（或临界状态）就是相平衡曲线的终点。最突出的例子是液-汽临界点，它是压力-温度曲线的终点，它指明了液体和其蒸汽可以共存的条件。在较高的温度下，气体不能仅靠压力来液化。在由临界温度<math>T_C</math>和临界压力<math>p_C</math>定义的临界点，相边界消失。其他例子包括混合物中的液-液临界点，以及在没有外部磁场的情况下的铁磁体-准磁体转变 <ref>{{Cite book|last=Stanley|first=H. Eugene|url=https://www.worldcat.org/oclc/15696711|title=Introduction to phase transitions and critical phenomena|date=1987|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-505316-8|location=New York|oclc=15696711}}</ref>。

在热力学中，一个'''临界点'''（或临界状态）就是相平衡曲线的终点。最突出的例子是液-汽临界点，它是压力-温度曲线的终点，它指明了液体和其蒸汽可以共存的条件。在较高的温度下，气体不能仅靠压力来液化。在由临界温度<math>T_C</math>和临界压力<math>p_C</math>定义的临界点，相边界消失。其他例子包括混合物中的液-液临界点，以及在没有外部磁场的情况下的铁磁体-准磁体转变 <ref>{{Cite book|last=Stanley|first=H. Eugene|url=https://www.worldcat.org/oclc/15696711|title=Introduction to phase transitions and critical phenomena|date=1987|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-505316-8|location=New York|oclc=15696711}}</ref>。

[[文件:典型的相图.png|300px|thumb|right|该图为典型的相图。其中虚线部分表示了水的反常行为]]

[[文件:典型的相图.png|300px|thumb|right|该图为典型的相图。其中虚线部分表示了水的反常行为]]

为使表述简单明晰，临界点的一般概念我们通过液体-蒸汽临界点来介绍。

为使表述简单明晰，临界点的一般概念我们通过液-汽临界点来介绍。

右图显示了纯物质的P-T图。众所周知，固相、液相和汽相通过相边界分离，即两相可以共存的压力-温度组合。在三相点，所有三个相可以共存。然而，在临界温度<math>T_C</math>和临界压力<math>p_C</math>时，液-汽边界终止于一个点，也就是临界点。  

右图显示了纯物质的P-T图。众所周知，固相、液相和汽相通过相边界分离，即两相可以共存的压力-温度组合。在三相点，所有三个相可以共存。然而，在临界温度<math>T_C</math>和临界压力<math>p_C</math>时，液-汽边界终止于一个点，也就是临界点。  

在临界点附近，液体和蒸汽的物理性质发生了巨大变化，两相变得越来越相似。在临界点，只有一个相存在。这意味着在临界点：<ref name="Atkins">P. Atkins and J. de Paula, Physical Chemistry, 8th ed. (W. H. Freeman 2006), p. 21.</ref><ref>K. J. Laidler and J. H. Meiser, Physical Chemistry (Benjamin/Cummings 1982), p. 27.</ref><ref>P. A. Rock, Chemical Thermodynamics (MacMillan 1969), p. 123.</ref>

在临界点附近，液体和蒸汽的物理性质发生了巨大变化，两相变得越来越相似。在临界点，只有一个相存在。这意味着在临界点<ref name="Atkins">P. Atkins and J. de Paula, Physical Chemistry, 8th ed. (W. H. Freeman 2006), p. 21.</ref><ref>K. J. Laidler and J. H. Meiser, Physical Chemistry (Benjamin/Cummings 1982), p. 27.</ref><ref>P. A. Rock, Chemical Thermodynamics (MacMillan 1969), p. 123.</ref>：

   

   

: <math>\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = 0,</math>

: <math>\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = 0,</math>

“平衡”这个词意味着一种平衡的状态。[[平衡热力学]]，通常被认为起源于对卡诺循环的分析。在这个典型的系统里，比如一缸气体，最初处于其自身的内部热力学平衡状态，通过燃烧反应的热输入而失去平衡。然后通过一系列的步骤，随着系统进入最终的平衡状态，功被释放出来。

“平衡”这个词意味着一种平衡的状态。[[平衡热力学]]，通常被认为起源于对卡诺循环的分析。在这个典型的系统里，比如一缸气体，最初处于其自身的内部热力学平衡状态，通过燃烧反应的热输入而失去平衡。然后通过一系列的步骤，随着系统进入最终的平衡状态，功被释放出来。

在平衡态下，系统内的热力学势或驱动力处于完全平衡状态。平衡热力学的一个核心目标是：给定一个处于明确的热力学平衡初始状态的系统，受到被精确规定的约束，计算当约束被外部施加的干预改变时，一旦系统达到新的平衡，系统的状态将会是什么。平衡态在数学上是通过寻求热力学势函数的极值来确定的，其性质取决于施加在系统上的约束。例如，在恒定温度和压力下的化学反应，将在吉布斯自由能<math>G</math>最小和熵<math>S</math>最大时达到平衡 <ref name="Mortimer 3rd">Mortimer, R. G. ''Physical Chemistry'', 3rd ed., p. 157, Academic Press, 2008.</ref>。

在'''平衡态'''下，系统内的热力学势或驱动力处于完全平衡状态。平衡热力学的一个核心目标是：给定一个处于明确的热力学平衡初始状态的系统，受到被精确规定的约束，计算当约束被外部施加的干预改变时，一旦系统达到新的平衡，系统的状态将会是什么。平衡态在数学上是通过寻求热力学势函数的极值来确定的，其性质取决于施加在系统上的约束。例如，在恒定温度和压力下的化学反应，将在吉布斯自由能<math>G</math>最小和熵<math>S</math>最大时达到平衡 <ref name="Mortimer 3rd">Mortimer, R. G. ''Physical Chemistry'', 3rd ed., p. 157, Academic Press, 2008.</ref>。

平衡热力学与非平衡热力学不同，对于后者而言，被分析系统的状态通常不是均匀的，而是在能量<math>E</math>、熵<math>S</math>和温度<math>T</math>分布上会发生局部变化。相比之下，在平衡热力学中，系统的状态将被认为是均匀的，由温度、压力或体积等量宏观定义的。系统是根据从一个平衡状态到另一个平衡状态的变化来研究的，这样的变化被称为热力学过程。

平衡热力学与[[非平衡热力学]]不同，对于后者而言，被分析系统的状态通常不是均匀的，而是在能量<math>E</math>、熵<math>S</math>和温度<math>T</math>分布上会发生局部变化。相比之下，在平衡热力学中，系统的状态将被认为是均匀的，由温度、压力或体积等量宏观定义的。系统是根据从一个平衡状态到另一个平衡状态的变化来研究的，这样的变化被称为热力学过程。

几乎所有在自然界中发现的系统都不是在热力学平衡中，因为它们正在随着时间变化或者可以被触发而发生变化，并且不断地和其他系统交换物质和能量以及参与化学反应。然而，某些系统和过程在某些程度上足够接近于热力学平衡态，允许目前已有的[[非平衡态热力学]]对其进行可行的精确描述。然而，在许多自然系统和过程中，由于非变分动力学的存在，使得自由能的概念并不存在，因此总是远远超出非平衡热力学方法的范围 <ref>{{cite journal |last1=Bodenschatz |first1=Eberhard |last2=Cannell |first2=David S. |last3=de Bruyn |first3=John R. |last4=Ecke |first4=Robert |last5=Hu |first5=Yu-Chou |last6=Lerman |first6=Kristina |last7=Ahlers |first7=Guenter |title=Experiments on three systems with non-variational aspects |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |date=December 1992 |volume=61 |issue=1–4 |pages=77–93 |doi=10.1016/0167-2789(92)90150-L}}</ref>。

几乎所有在自然界中发现的系统都不是在热力学平衡中，因为它们正在随着时间变化或者可以被触发而发生变化，并且不断地和其他系统交换物质和能量以及参与化学反应。然而，某些系统和过程在某些程度上足够接近于热力学平衡态，允许目前已有的[[非平衡态热力学]]对其进行可行的精确描述。然而，在许多自然系统和过程中，由于非变分动力学的存在，使得自由能的概念并不存在，因此总是远远超出非平衡热力学方法的范围 <ref>{{cite journal |last1=Bodenschatz |first1=Eberhard |last2=Cannell |first2=David S. |last3=de Bruyn |first3=John R. |last4=Ecke |first4=Robert |last5=Hu |first5=Yu-Chou |last6=Lerman |first6=Kristina |last7=Ahlers |first7=Guenter |title=Experiments on three systems with non-variational aspects |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |date=December 1992 |volume=61 |issue=1–4 |pages=77–93 |doi=10.1016/0167-2789(92)90150-L}}</ref>。

对于平衡态的研究，使用了“准静态过程”的理想化概念。准静态过程是一种概念上沿着热力学平衡状态连续路径的平滑数学过程。它只可能是微分几何的练习，而不是现实中可能发生的过程 <ref>Herbert Callen|Callen, H.B. (1960/1985), §&nbsp;4–2.</ref>。此外，非平衡态热力学试图描述连续的时间进程，这需要它的状态变量与平衡态热力学的状态变量之间有非常密切的联系。这极大地限制了非平衡态热力学的范围，并对其概念框架提出了严格的要求 <ref>Glansdorff, P., Prigogine, I. (1971), Ch. {{math|II}},§&nbsp;2.</ref>。

对于平衡态的研究，使用了“'''准静态过程'''”的理想化概念。准静态过程是一种概念上沿着热力学平衡状态连续路径的平滑数学过程。它只可能是微分几何的练习，而不是现实中可能发生的过程 <ref>Herbert Callen|Callen, H.B. (1960/1985), §&nbsp;4–2.</ref>。此外，非平衡态热力学试图描述连续的时间进程，这需要它的状态变量与平衡态热力学的状态变量之间有非常密切的联系。这极大地限制了非平衡态热力学的范围，并对其概念框架提出了严格的要求 <ref>Glansdorff, P., Prigogine, I. (1971), Ch. {{math|II}},§&nbsp;2.</ref>。

不同于前文所述的平衡态，非平衡态要复杂得多，它可能存在更多广延量的涨落。边界条件施加给它们某些强度量，如温度梯度或形变集体运动（剪切运动、涡旋等），通常称为热力学力。在这里，我们必须强调，这里并没有像平衡态热力学中熵的热力学第二定律那样定义能量的静态非平衡性质的一般定律。这就是为什么在这种情况下，应该考虑一个更一般的[[Legendre变换]]（也就是拓展的马休势，extended Massieu function）。

不同于前文所述的平衡态，非平衡态要复杂得多，它可能存在更多广延量的涨落。边界条件施加给它们某些强度量，如温度梯度或形变集体运动（剪切运动、涡旋等），通常称为热力学力。在这里，我们必须强调，这里并没有像平衡态热力学中，熵的热力学第二定律那样定义能量的静态非平衡性质的一般定律。这就是为什么在这种情况下，应该考虑一个更一般的[[Legendre变换]]（也就是拓展的马休势，extended Massieu function）。

== 微观态与宏观态 ==

== 微观态与宏观态 ==

系统最可能所处的宏观态，是对应于最多微观态数的宏观态。

系统最可能所处的宏观态，是对应于最多微观态数的宏观态。

热力学系统的行为，与上面考虑的例子中的情况非常类似。要指定一个热力学系统的一个微观态，就需要给出系统中每一个原子的微观位形 <ref group="注">按照习惯，这个前面我们称为“组态”的词，这里称为位形。</ref>（configuration，可能是位置和速度或者能量）。但值得注意的是，我们通常不可能测量出系统处在哪一个微观态。另一方面，仅仅给出一个热力学系统的宏观性质（如压强，总能量或者体积），我们就能指定该系统的个宏观态。举例来说，在体积<math>1m^3</math>中压强为105Pa的气体的一个宏观位形，通常会与大量的微观态相联系。

热力学系统的行为，与上面考虑的例子中的情况非常类似。要指定一个热力学系统的一个微观态，就需要给出系统中每一个原子的'''微观位形''' <ref group="注">按照习惯，这个前面我们称为“组态”的词，这里称为位形。</ref>（configuration，可能是位置和速度或者能量）。但值得注意的是，我们通常不可能测量出系统处在哪一个微观态。另一方面，仅仅给出一个热力学系统的宏观性质（如压强，总能量或者体积），我们就能指定该系统的个宏观态。举例来说，在体积<math>1m^3</math>中压强为105Pa的气体的一个宏观位形，通常会与大量的微观态相联系。

= 本征微观态及其演化 =

= 本征微观态及其演化 =

== 重整化群 ==

== 重整化群 ==

在理论物理中，重整化群（renormalization group）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”这些概念的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在[[重整化]]理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

在理论物理中，'''重整化群'''（renormalization group）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”这些概念的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在[[重整化]]理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

下面我们通过重整化群的一个简单例子——块自旋重整化群来帮助理解。这是由利奥·菲利普·卡达诺夫（Leo Philip Kadanoff）在1966年推导出来的。 <ref>{{cite journal |last1=Kadanoff|first1=Leo P|title=Scaling laws for ising models near <math>T_c</math>|journal= Physics Physique Fizika|date=1 June 1966|volume=2|issue=6|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263}}</ref>

下面我们通过重整化群的一个简单例子——块自旋重整化群来帮助理解。这是由利奥·菲利普·卡达诺夫（Leo Philip Kadanoff）在1966年推导出来的。 <ref>{{cite journal |last1=Kadanoff|first1=Leo P|title=Scaling laws for ising models near <math>T_c</math>|journal= Physics Physique Fizika|date=1 June 1966|volume=2|issue=6|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263}}</ref>

\delta S_N(t)

\delta S_N(t)

\end{array}\right] </math>。利用这些微观态，我们得到系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>，其元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0 = M·N</math>。

\end{array}\right] </math>。利用这些微观态，我们得到系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>，其元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0 = M·N</math>。

[[文件:在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，与U1U2U3距离相等的四张截面图.jpg|缩略图|在（A）<math>T^{*}=5.5116</math>、（B）<math>T^{*}=4.5116</math>、（C）<math>T^{*}=3.5116</math>时，与<math>U1,U2,U3</math>等距的四张截面图]]

[[文件:在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，与U1U2U3距离相等的四张截面图.jpg|缩略图|在（A）<math>T^{*}=5.5116</math>、（B）<math>T^{*}=4.5116</math>、（C）<math>T^{*}=3.5116</math>时，与<math>U1,U2,U3</math>等距的四张截面图]]

<math>T^{*}=5.5116</math>时（高于临界温度），从图中可以看到，这些本征微观态中的自旋簇都具有微小尺寸，且在空间中随机分布。在<math>T^{*}=4.5116</math>时（接近临界温度）以及在<math>T^{*}=3.5116</math>时（低于临界温度），最大的本征微观态EM1将产生一个凝聚。这表明，当本征微观态的概率变得有限时，就会出现一个铁磁相变。

<math>T^{*}=5.5116</math>时（高于临界温度），从图中可以看到，这些本征微观态中的自旋簇都具有微小尺寸，且在空间中随机分布。在<math>T^{*}=4.5116</math>时（接近临界温度）以及在<math>T^{*}=3.5116</math>时（低于临界温度），最大的本征微观态EM1将产生一个凝聚。这表明，当本征微观态的概率变得有限时，就会出现一个铁磁相变。

[[文件:在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，三个最大本征微观态随时间的演化图.png|缩略图|在（A）<math>T^{*}=5.5116</math>、（B）<math>T^{*}=4.5116</math>、（C）<math>T^{*}=3.5116</math>时，三个最大本征微观态随时间的演化图]]

[[文件:在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，三个最大本征微观态随时间的演化图.png|缩略图|在（A）<math>T^{*}=5.5116</math>、（B）<math>T^{*}=4.5116</math>、（C）<math>T^{*}=3.5116</math>时，三个最大本征微观态随时间的演化图]]

== 在地球系统中 ==

== 在地球系统中 ==

气候问题是人类社会得以拥有稳定发展的最重要因素之一，显著的气候变迁可能直接或间接地对物种进化、种族迁徙、社会变革等产生影响<ref>{{cite journal |last1=Carleton|first1=Tamma A|last2=Hsiang|first2=Solomon M|title=Social and economic impacts of climate|journal=Science|date=9 September 2016|volume=353|issue=6304|doi=10.1126/science.aad9837}}</ref>。能否良好地分析与解释地球气候，确乎成为关乎人类福祉的重大命题。所有复杂系统都由无数不同的、相互作用的个体组成，而这些个体又可能受大量不同、随机的因素支配。这些复杂的因素甚至可能是混沌的，如地球气候系统，初值的微小差异可能带来后续的完全不同的演化进程。但是，复杂系统往往具有很好的普适性（Universal-Examples of Behavior-sity）<ref>{{cite journal |last1=Fang|first1=Fukang|title=Self-organization, Learning and Language|journal= 2005 International Conference on Neural Networks and Brain|date=2005|volume=3|issue=1906-1911|doi=10.1109/ICNNB.2005.1614997}}</ref>，这使得刻画系统中所有可能状态的集合成为可能。

气候问题是人类社会得以拥有稳定发展的最重要因素之一，显著的气候变迁可能直接或间接地对物种进化、种族迁徙、社会变革等产生影响<ref>{{cite journal |last1=Carleton|first1=Tamma A|last2=Hsiang|first2=Solomon M|title=Social and economic impacts of climate|journal=Science|date=9 September 2016|volume=353|issue=6304|doi=10.1126/science.aad9837}}</ref>。能否良好地分析与解释地球气候，确乎成为关乎人类福祉的重大命题。所有复杂系统都由无数不同的、相互作用的个体组成，而这些个体又可能受大量不同、随机的因素支配。这些复杂的因素甚至可能是混沌的，如地球气候系统，初值的微小差异可能带来后续的完全不同的演化进程。但是，复杂系统往往具有很好的'''普适性'''（Universal-Examples of Behavior-sity）<ref>{{cite journal |last1=Fang|first1=Fukang|title=Self-organization, Learning and Language|journal= 2005 International Conference on Neural Networks and Brain|date=2005|volume=3|issue=1906-1911|doi=10.1109/ICNNB.2005.1614997}}</ref>，这使得刻画系统中所有可能状态的集合成为可能。

地球系统科学起源于20世纪前期，经过近百年的发展，行星的观测运动、地球系统模型的健全，为综合性科学的发展提供了动力。对于地球系统的稳定性问题，尤其是气候问题，是涉及整个地球系统的非线性<ref>{{cite book |last1=Kabat|first1=Pavel|last2=Claussen|first2=Martin|last3=Dirmeyer|first3=Paul A|last4=Gash|first4=John HC|last5=de Guenni|first5=Lelys Bravo|last6=Meybeck|first6=Michel|last7=Hutjes|first7=Ronald WA|last8=Pielke Sr|first8=Roger A|last9= Vorosmarty|first9=Charles J|last10=Lutkemeier|first10=Sabine|title=Vegetation, water, humans and the climate: A new perspective on an internactive system |year=2004|publisher=Springer Science & Business Media }}</ref>、突变与临界点的相互作用<ref>{{cite journal |last1=Rocha|first1=Juan C|last2=Peterson|first2=Garry|last3=Bodin|first3=Orjan|last4=Levin|first4=Simo|title=Cascading regime shifts within and across scales|journal=Science|date=21 November 2018|volume=362|issue=6421|doi=10.1126/science.aat7850}}</ref>的一大挑战。2021年诺贝尔物理学奖被颁发给真锅淑郎（Syukuro Manabe）和克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）<ref>[https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/summary/ Nobel Prize, Retrieved October-14-2022]</ref>，他们对复杂地球物理系统进行量化气候变化的物理建模，并且给出了对地球系统整体的可靠的趋势预测。

'''地球系统科学'''起源于20世纪前期，经过近百年的发展，行星的观测运动、地球系统模型的健全，为综合性科学的发展提供了动力。对于地球系统的稳定性问题，尤其是气候问题，是涉及整个地球系统的非线性<ref>{{cite book |last1=Kabat|first1=Pavel|last2=Claussen|first2=Martin|last3=Dirmeyer|first3=Paul A|last4=Gash|first4=John HC|last5=de Guenni|first5=Lelys Bravo|last6=Meybeck|first6=Michel|last7=Hutjes|first7=Ronald WA|last8=Pielke Sr|first8=Roger A|last9= Vorosmarty|first9=Charles J|last10=Lutkemeier|first10=Sabine|title=Vegetation, water, humans and the climate: A new perspective on an internactive system |year=2004|publisher=Springer Science & Business Media }}</ref>、突变与临界点的相互作用<ref>{{cite journal |last1=Rocha|first1=Juan C|last2=Peterson|first2=Garry|last3=Bodin|first3=Orjan|last4=Levin|first4=Simo|title=Cascading regime shifts within and across scales|journal=Science|date=21 November 2018|volume=362|issue=6421|doi=10.1126/science.aat7850}}</ref>的一大挑战。2021年诺贝尔物理学奖被颁发给真锅淑郎（Syukuro Manabe）和克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）<ref>[https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/summary/ Nobel Prize, Retrieved October-14-2022]</ref>，他们对复杂地球物理系统进行量化气候变化的物理建模，并且给出了对地球系统整体的可靠的趋势预测。

[[文件:地球的六大本征微观态的空间分布.jpg|缩略图|地球的六大本征微观态的空间分布]]

[[文件:地球的六大本征微观态的空间分布.jpg|缩略图|地球的六大本征微观态的空间分布]]