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还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。

还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。

服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..

服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..

图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）

图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）

===双曲空间与相对论===

===双曲空间与相对论===

爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。

爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。

图31 光锥图示（图片来源于维基百科)

图31 光锥图示（图片来源于维基百科)

===双曲几何与复杂网络===

===双曲几何与复杂网络===

网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。

网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。

===双曲贴现与行为经济学===

===双曲贴现与行为经济学===

双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。

双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。

在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。

在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。

双曲贴现是行为经济学的重要基础，它影响了消费和储蓄、上瘾行为、不对称信息和契约设计、资产定价等众多研究。

双曲贴现是行为经济学的重要基础，它影响了消费和储蓄、上瘾行为、不对称信息和契约设计、资产定价等众多研究。

 

[[文件:图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）.png|居中|缩略图|386x386像素|图33：双曲折现与指数折现（图片来源于网络）]]

 

图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）

===双曲与数据科学===  

===双曲与数据科学===