786
个编辑
更改
→一维函数映射
<math>
<math>
y=f(x)+\varepsilon, \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\epsilon^2)
y=f(x)+\varepsilon, \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)
</math>
</math>
为了解决这个问题，我们假设x的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]，从而实施有效信息的计算。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和x定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。这一点可以从EI的定义中看出：
为了解决这个问题，我们假设x的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]，从而实施有效信息的计算。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和x定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。这一点可以从EI的定义中看出：
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
EI&=I(y;x|do(x\sim U[-L/2,L/2]))\\
EI&=I(y;x|do(x\sim U[-L/2,L/2]))\\
&=\int_{-L/2}^{L/2}\int_{f([-L/2,L/2])}p(x)p(y|x)\ln\frac{p(y|x)}{p(y)}dydx\\
&=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln\frac{p(y|x)}{p(y)}dydx\\
&=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx -\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y)dydx
\end{aligned}
</math>
|{{EquationRef|4}}}}
这里，[math]p(y|x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)[/math]为给定x的条件下，y的条件概率密度函数。由于[math]\varepsilon[/math]服从均值为0，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布，所以[math]y=f(x)+\varepsilon[/math]就服从均值为[math]f(x)[/math]，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布。
y的积分区间为：[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]，即将x的定义域[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}[/math]经过f的映射，形成y上的区间范围。
[math]p(y)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)dx[/math]为y的概率密度函数，它也可以由联合概率密度函数[math]p(x,y)=p(x)p(y|x)[/math]对x进行积分得到。
由于L很大，所以区间[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}[/math]，进而假设区间[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]也很大。这就使得，上述积分的积分上下界可以近似取到无穷大，也就有{{EquationNote|4}}中的第一项为：
<math>
\begin{aligned}
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx\approx \int_{-\infty}^{\infty}\int_{\infty,\infty])}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\infty,\infty])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\right]dydx\\
&=\ln(\frac{L}{\sqrt{2\pi e}})
\end{aligned}
</math>
其中，最后一个等式是根据高斯分布函数的Shannon熵公式计算得出的。然而，要计算第二项，即使使用了积分区间为无穷大这个条件，仍然很难计算得出结果，为此，我们对函数f(x)进行一阶泰勒展开：
<math>
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
</math>
因此，p(y)可以被近似计算：
<math>
p(y)\approx \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))^2}{\sigma^2}\right)dx
</math>
这样，{{EquationNote|4}}中的第二项近似为：
<math>
\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y)dydx \approx \frac{1}{L}\cdot\frac{1}{f'(x_0)}
</math>
&=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\right]dydx-\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(z))^2}{\sigma^2}\right)dz\right]dydx\\
&=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\right]dydx-\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(z))^2}{\sigma^2}\right)dz\right]dydx\\
&=\int_{-L/2}^{L/2}\int_{f([-L/2,L/2])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\frac{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)}{\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(z))^2}{\sigma^2}\right)dz}dydx\\
&=\int_{-L/2}^{L/2}\int_{f([-L/2,L/2])}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\frac{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)}{\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(z))^2}{\sigma^2}\right)dz}dydx\\
&\approx \ln(\frac{L}{\sqrt{2\pi e}})+\frac{1}{2L}\int_{-L/2}^{L/2}\ln \left(\frac{f'(x)}{\epsilon}\right)^2dx.
&\approx \ln(\frac{L}{\sqrt{2\pi e}})+\frac{1}{2L}\int_{-L/2}^{L/2}\ln \left(\frac{f'(x)}{\epsilon}\right)^2dx.
如果同时考虑两种噪声，并且如果干预空间大小为<math>L
如果同时考虑两种噪声，并且如果干预空间大小为<math>L