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→因果涌现最优化时粗粒化参数的解集
<math>
<math>
EI(f,\Sigma)\approx \ln\left(\frac{L^n}{(2\pi e)^{n/2}}\right)+\frac{1}{L^n}\int_{-[\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_x f(x)}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| dx,
EI(f,\Sigma)\approx \ln\left(\frac{L^n}{(2\pi e)^{n/2}}\right)+\frac{1}{L^n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_x f(x)}{\Sigma^{1/2}}\right)\right| dx,
</math>
</math>
<math>
<math>
\mathcal{J}(f,\Sigma)=\frac{EI(f,\Sigma)}{n}\approx \ln\left(\frac{L}{(2\pi e)^{1/2}}\right)+\frac{1}{L^n}\int_{-[\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_x f(x)}{\Sigma^{1/2}}\right)\right|^\frac{1}{n} dx,
\mathcal{J}(f,\Sigma)=\frac{EI(f,\Sigma)}{n}\approx \ln\left(\frac{L}{(2\pi e)^{1/2}}\right)+\frac{1}{L^n}\int_{[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_x f(x)}{\Sigma^{1/2}}\right)\right|^\frac{1}{n} dx,
</math>
</math>
由于一般情况下有效信息与因果涌现受映射<math>f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n</math>影响较大，而映射自身会受状态<math>x_t</math>本身以及其所处时间<math>t</math>影响，故很多性质我们很难直接研究。但如果是线性随机迭代系统，映射函数及其导函数相对固定，我们就可以从中挖掘更多的信息。
由于一般情况下有效信息与因果涌现受映射<math>f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n</math>影响较大，而映射自身会受状态<math>x_t</math>本身以及其所处时间<math>t</math>影响，故很多性质我们很难直接研究。但如果是线性随机迭代系统，映射函数及其导函数相对固定，我们就可以从中挖掘更多的信息。
=== 近似化简 ===
依据拉格朗日中值定理，存在<math>
x_t\in[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n
</math>有效信息EI可以推广为以下形式：
<math>
EI(f,\Sigma)\approx \ln\left(\frac{L^n}{(2\pi e)^{n/2}}\right)+\ln\left|\det\left(\frac{\partial_x_t^* f(x_t^*)}{\Sigma^{1/2}}\right)\right|,
</math>
== 线性随机迭代系统的因果涌现 ==
== 线性随机迭代系统的因果涌现 ==
W
W
</math>的解集。
</math>的解集。
当<math>
\varepsilon_t\sim N_\mathcal｛N｝（0，\Sigma）
</math>时，若使因果涌现度达到其最大值时，<math>
W
</math>需要满足
<math>
<math>