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证明。由引理7，备注4可得，有一个函数g符合S = g(R^)几乎总成立。但是H[f(X)]≤H(X)（等式（附录11））并且因此
证明。由引理7，备注4可得，有一个函数g符合S = g(R^)几乎总成立。但是H[f(X)]≤H(X)（等式（附录11））并且因此
H[S] = H[g(R^)] ≤ H[R^]。（48）
<math>
H[\mathcal{S}] = H[g(\hat{\mathcal{R}})] \le H[\hat{\mathcal{R}}]. \tag{48}
</math>
但是<math>C_μ(\hat{\mathcal{R}}) = H[\hat{\mathcal{R}}]</math> (定义4)。证毕。
备注1。我们只是建立了没有竞争者斑图，能同因果态一样对观测预测的那么发，又或者是更简单，在定义4的意义下，相比于因果态来说。（这是参考文献【6】中的定理。）奥卡姆因此告诉我们不用使因果态是没有理由的。下一个定理展示了因果态是唯一最优的，并且因此奥卡姆剃刀是我们不得不使用的。
备注1。我们只是建立了没有竞争者斑图，能同因果态一样对观测预测的那么发，又或者是更简单，在定义4的意义下，相比于因果态来说。（这是参考文献【6】中的定理。）奥卡姆因此告诉我们不用使因果态是没有理由的。下一个定理展示了因果态是唯一最优的，并且因此奥卡姆剃刀是我们不得不使用的。
证明。从引理7，我们可知S = g(R^)几乎总成立。我们现在展示有一个函数f满足R^ = f(S)几乎总成立，表明g = f-1并且f是要求的两个集合之间的关系。为了做成这样，由等式（A12）足够展示H[R^|S]=0。现在，它遵循信息论唯一性（等式（A8））
证明。从引理7，我们可知S = g(R^)几乎总成立。我们现在展示有一个函数f满足R^ = f(S)几乎总成立，表明g = f-1并且f是要求的两个集合之间的关系。为了做成这样，由等式（A12）足够展示H[R^|S]=0。现在，它遵循信息论唯一性（等式（A8））
H[S] - H[S | R^] = H[R^] - H[R^ | S]。（49）
<math>
H[\mathcal{S}] - H[\mathcal{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] = H[\hat{\mathcal{R}}] - H[\hat{\mathcal{R}} \vert \mathcal{S}]. \tag{49}
</math>
自从，由引理7H[S|R^] = 0，等式(49)两边都等于H[S]. 但是，由假设可知，H[R^] = H[S]。因此，H[R^|S] = 0并且存在一个f满足R^ = f(S)几乎总成立。至此我们有f(g(R^)) = R^并且g(f(S)) = S，因此g = f-1。这表明f保留几乎一直状态的等价性：对几乎所有s<-，s<-' ∈S<-，η（S<-）= η(s<-')当且仅当ϵ（s<-） = ϵ(s<-')。
自从，由引理7H[S|R^] = 0，等式(49)两边都等于H[S]. 但是，由假设可知，H[R^] = H[S]。因此，H[R^|S] = 0并且存在一个f满足R^ = f(S)几乎总成立。至此我们有f(g(R^)) = R^并且g(f(S)) = S，因此g = f-1。这表明f保留几乎一直状态的等价性：对几乎所有s<-，s<-' ∈S<-，η（S<-）= η(s<-')当且仅当ϵ（s<-） = ϵ(s<-')。
定理4（ϵ机制是最简随机）【15】对所有的预知竞争者R^，
定理4（ϵ机制是最简随机）【15】对所有的预知竞争者R^，
H[R^'|R^]≥H[S'|S]，(50)
<math>
H[\hat{\mathcal{R}}' \vert \hat{\mathcal{R}}] \ge H[\mathcal{S}' \vert \mathcal{S}]. \tag{50}
</math>
其中S'和R^'是过程的下一个因果态并且是对应的下一个η态。
其中S'和R^'是过程的下一个因果态并且是对应的下一个η态。
证明。从定理5可知，S'由S和S->1共同固定，因此由等式（A12）得出H[S'|S,S->1] = 0。因此，从对于熵的等式（A6）链式法则可知，
证明。从定理5可知，S'由S和S->1共同固定，因此由等式（A12）得出H[S'|S,S->1] = 0。因此，从对于熵的等式（A6）链式法则可知，
H[S->1S] = H[S', S->1|S]。（51）
<math>
H[\overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}] = H[\mathcal{S}', \overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}]. \tag{51}
</math>
我们没有对于竞争者状态R^类似的决定性引理5的结果，但是熵是一直非负的：H[R^'|R^,S->1] ≥ 0。自从对于所有的L，H[S->L|R^] = H[S->L|S]，由定义可知，定义（11），竞争态的，H[S->1|R^] = H[S->1|S]。现在我们再次应用链式法则，
我们没有对于竞争者状态R^类似的决定性引理5的结果，但是熵是一直非负的：H[R^'|R^,S->1] ≥ 0。自从对于所有的L，H[S->L|R^] = H[S->L|S]，由定义可知，定义（11），竞争态的，H[S->1|R^] = H[S->1|S]。现在我们再次应用链式法则，
H[R^', S->1|R^] = H[S->1|R^] + H[R^'|S->1,R^] (52)
<math>
= H[S->1|S]
\begin{aligned}
= H[S', S->1|S]
H[\hat{\mathcal{R}}', \overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] & = H[\overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] + H[\hat{\mathcal{R}}' \vert \overset{\to 1}{S}, \hat{\mathcal{R}}] (52) \\
= H[S'|S] + H[S->1|S',S]。（56）
& \ge H[\overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] \\
& = H[\overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}] \\
& = H[\mathcal{S}', \overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}] \\
& = H[\mathcal{S}' \vert \mathcal{S}] + H[\overset{\to 1}{S} \vert \mathcal{S}',\mathcal{S}] . (56)
\end{aligned}
</math>
从等式（54）到等式（55）我们使用了等式（51），并且在是后一步我们再一次应用了链式法则。
从等式（54）到等式（55）我们使用了等式（51），并且在是后一步我们再一次应用了链式法则。
最后一次使用链式法则，我们有
最后一次使用链式法则，我们有
H[R^', S->1|R^] = H[R^'|R^] + H[S->1|R^',R^]. (57)
<math>
H[\hat{\mathcal{R}}', \overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] = H[\hat{\mathcal{R}}' \vert \hat{\mathcal{R}}] + H[\overset{\to 1}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}', \hat{\mathcal{R}}]. \tag{57}
</math>
将这些扩展，等式（56）和（57），结合在一起我们得到
将这些扩展，等式（56）和（57），结合在一起我们得到
备注。这个定理是说在因果态的转换间没有更多的不确定性，比其他预知实际状态类别之间的转换更少。用其他的话来说，因果态的方式同完美的决定论很接近——在通常的理论中，非计算理论层面——因为任何竞争者在预测未来上一样好。这一类内部的决定论已经作为理想的科学模型【72】有一段时间了。
备注。这个定理是说在因果态的转换间没有更多的不确定性，比其他预知实际状态类别之间的转换更少。用其他的话来说，因果态的方式同完美的决定论很接近——在通常的理论中，非计算理论层面——因为任何竞争者在预测未来上一样好。这一类内部的决定论已经作为理想的科学模型【72】有一段时间了。
== Ⅵ。边界 ==
== Ⅵ. 边界 ==
在这一节我们研究结构复杂度和熵之间的测量，继承自ϵ机制和那些来自遍历性和信息论的，或许可能会让大家更熟悉一些。
在这一节我们研究结构复杂度和熵之间的测量，继承自ϵ机制和那些来自遍历性和信息论的，或许可能会让大家更熟悉一些。