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此框架不能排除一些平凡解。例如，假设对于 <math>∀ \mathbf{y}_t ∈ \mathcal{R}^p</math>  , <math>q = 1</math> 维的 <math>\phi_q</math> 定义为 <math>\phi_q(\mathbf{x}_t) = 1</math> 。因此，相应的宏观动力学只是 <math>d\mathbf{y}/dt = 0</math> 和 <math>\mathbf{y}(0) = 1</math>。由于宏观状态动力学是平凡的，粗粒化映射过于随意，此方程无意义。因此，必须对粗粒化策略和宏观动力学设置限制以避免平凡解和动力学。

此框架不能排除一些平凡解。例如，假设对于 <math>∀ \mathbf{y}_t ∈ \mathcal{R}^p</math>  , <math>q = 1</math> 维的 <math>\phi_q</math> 定义为 <math>\phi_q(\mathbf{x}_t) = 1</math> 。因此，相应的宏观动力学只是 <math>d\mathbf{y}/dt = 0</math> 和 <math>\mathbf{y}(0) = 1</math>。由于宏观状态动力学是平凡的，粗粒化映射过于随意，此方程无意义。因此，必须对粗粒化策略和宏观动力学设置限制以避免平凡解和动力学。

===有效粗粒化策略和宏观动力学===

===有效粗粒化策略===

为了规避上述平凡节的问题，NIS提出了有效粗粒化策略和有效宏观动力学的概念。

为了规避上述平凡节的问题，NIS提出了有效粗粒化策略和有效宏观动力学的概念。

其中，所谓的'''有效粗粒化策略'''应是一个从微观态到宏观态可以'''尽量多地保存微观态信息'''的压缩映射。

其中，所谓的'''有效粗粒化策略'''应是一个从微观态到宏观态可以'''尽量多地保存微观态信息'''的压缩映射。

*'''<math>\epsilon</math>-effective q维粗粒化与宏观动力学'''

*'''<math>\epsilon</math>-effective q维粗粒化与宏观动力学'''：

如果存在一个函数<math>\phi_q^† :\mathcal{R}^q \rightarrow \mathcal{R}^p</math>，使得对于给定的小实数<math>\varepsilon</math>和给定的向量范数<math>\Vert \cdot \Vert</math>，以下不等式成立，则 <math>q</math> 维粗粒化策略<math>\phi_q :\mathcal{R}^p \rightarrow \mathcal{R}^q</math>是<math>\epsilon</math>-effective的：

 

{{NumBlk|:|<blockquote><math>\Vert \phi_q^† ( \mathbf{y}(t) - \mathbf{x}_t \Vert < \epsilon ,</math></blockquote>|{{EquationRef|4}}}}

如果存在一个函数

同时，导出的宏观动力学<math>\hat{f}_{\phi_q}</math>也有效（其中<math>\mathbf{y}(t)</math> 是式2的解）。即对于所有<math>t = 1,2,···, T</math>：

<math>

{{NumBlk|:|<blockquote><math>\mathbf{y}(t)=\phi_q (\mathbf{x}_{t-1}) + \int_{t-1}^t \hat{f}_{\phi_q}(\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau</math></blockquote>|{{EquationRef|5}}}}

\phi_q^† :\mathcal{R}^q \rightarrow \mathcal{R}^p

</math>，使得对于给定的小实数<math>\varepsilon</math>和给定的向量范数<math>\Vert \cdot \Vert</math>，以下不等式成立，则 <math>q</math> 维粗粒化策略<math>\phi_q :\mathcal{R}^p \rightarrow \mathcal{R}^q</math>是<math>\epsilon</math>-effective的：

 

{{NumBlk|:|<blockquote>

<math>

\Vert \phi_q^† ( \mathbf{y}(t) - \mathbf{x}_t \Vert < \epsilon ,

</math>

</blockquote>

|{{EquationRef|4}}}}

 

 

同时，由上面导出的宏观动力学<math>\hat{f}_{\phi_q}</math>也是有效的（其中<math>\mathbf{y}(t)</math> 是式2的解）。即对于所有<math>t = 1,2,···, T</math>：

{{NumBlk|:|<blockquote>

<math>

\mathbf{y}(t)=\phi_q (\mathbf{x}_{t-1}) + \int_{t-1}^t \hat{f}_{\phi_q}(\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau

</math>

</blockquote>

|{{EquationRef|5}}}}

 

可以通过<math>\phi_q^†</math>重构微观状态时间序列，使得宏观状态变量尽可能多地包含微观状态的信息。

可以通过<math>\phi_q^†</math>重构微观状态时间序列，使得宏观状态变量尽可能多地包含微观状态的信息。