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其中CE为因果涌现强度。如果宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。

其中<math>CE</math>为因果涌现强度。如果宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。

在文献<ref name=":0"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵([math]f_m[/math]的例子，如图a所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，只能转变为自身的状态。

在文献<ref name=":0"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵([math]f_m[/math])的例子，如下面左图所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，只能转变为自身的状态。

对该矩阵的粗粒化为如下操作：首先，将前7个状态归并为一个宏观状态，不妨称为A，并且将[math]f_m[/math]中前7行的前7列的概率数值加总得到A到A状态转移的概率，并对[math]f_m[/math]矩阵的其它数值保持不变。这样归并后的新的概率转移矩阵如右图所示，记为[math]f_M[/math]。这是一个确定的宏观马尔科夫转移矩阵，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。

对该矩阵的粗粒化为如下操作：首先，将前7个状态归并为一个宏观状态，不妨称为A，并且将[math]f_m[/math]中前7行的前7列的概率数值加总得到A到A状态转移的概率，并对[math]f_m[/math]矩阵的其它数值保持不变。这样归并后的新的概率转移矩阵如右图所示，记为[math]f_M[/math]。这是一个确定的宏观马尔科夫转移矩阵，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。