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</math>和P 可以称为动力学可逆的。
</math>和P 可以称为动力学可逆的。
对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
考虑P的秩r，当且仅当r<N的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>
考虑P的秩r，当且仅当r<N的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>
==近似动力学可逆性==
==近似动力学可逆性==
假设马尔科夫链的TPM为P，奇异值为<math>
假设马尔科夫链的TPM为P，奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
</math>来得到。
</math>来得到。
对于任意<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
</math>，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值.
</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值。更进一步来说，可以证明，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>的下界可以由<math>
</math>的下界可以由<math>
{||P||}_{F}^{\alpha}
{||P||}_{F}^{\alpha}
</math>确定<ref name="Zhangjiang" />。
</math>确定<ref name="Zhangjiang">Zhang, Jiang, Ruyi Tao, and Bing Yuan. "Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence." arXiv preprint arXiv:2402.15054 (2024).</ref>。
===决定性和简并性===
===决定性和简并性===
</math>测量确定性和简并性的倾向，<math>
</math>测量确定性和简并性的倾向，<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>被称为核范数<ref name="Cui" /><ref>Fazel, M.: Matrix rank minimization with applications. PhD thesis, PhD thesis, Stanford University (2002)</ref>。
</math>被称为核范数<ref name="Cui" /><ref>Fazel, M.: Matrix rank minimization with applications. PhD thesis, PhD thesis, Stanford University (2002)</ref>。为简便，下文中将<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>记作<math>
</math>记作<math>
<math>
<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较。
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较：
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
对于任意 TPM P 和 <math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
</math>，<math>
P=\frac{1}{N}I_{N\times{N}}
P=\frac{1}{N}I_{N\times{N}}
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。
可以证明，对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
因此，我们有如下不等式：
因此，我们有如下不等式：