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→计算力学
计算力学的目标是建立一个模型，希望以一定的准确度的方式重建和预测观察到的随机序列。然而，序列的随机性使我们无法获得完美的重建，因此，我们需要一个粗粒化的映射来捕获随机序列中的有序结构。这个粗粒化映射可以用一个划分函数<math>\eta: \overleftarrow{S}→\mathcal{R}</math>来刻画，该函数可以将<math>\overleftarrow{S}</math>划分为相互排斥的若干子集（所有的互斥子集形成全集），形成的集合记为<math>\mathcal{R}</math>。
计算力学的目标是建立一个模型，希望以一定的准确度的方式重建和预测观察到的随机序列。然而，序列的随机性使我们无法获得完美的重建，因此，我们需要一个粗粒化的映射来捕获随机序列中的有序结构。这个粗粒化映射可以用一个划分函数<math>\eta: \overleftarrow{S}→\mathcal{R}</math>来刻画，该函数可以将<math>\overleftarrow{S}</math>划分为相互排斥的若干子集（所有的互斥子集形成全集），形成的集合记为<math>\mathcal{R}</math>。
计算力学将任意的子集<math>R \in \mathcal{R}</math>看作是一个宏观状态。对于一组宏观状态集合<math>\mathcal{R}</math>，计算力学使用香农熵定义其统计复杂性指标<math>C_\mu</math>来衡量状态的复杂性，其中:
计算力学将任意的子集<math>R \in \mathcal{R}</math>看作是一个宏观状态。对于一组宏观状态集合<math>\mathcal{R}</math>，计算力学使用香农熵定义其统计复杂性指标<math>C_\mu</math>来衡量状态的复杂性，其中:
<math>
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C_\mu(\mathcal{R})\triangleq -\sum_{\rho\in \mathcal{R}} P(\mathcal{R}=\rho)\log_2 P(\mathcal{R}=\rho)
C_\mu(\mathcal{R})\triangleq -\sum_{\rho\in \mathcal{R}} P(\mathcal{R}=\rho)\log_2 P(\mathcal{R}=\rho)
</math>
</math>
可以证明，当使用一组状态构建预测模型时，统计复杂性就近似等价于预测模型的大小。
可以证明，当使用一组状态构建预测模型时，统计复杂性就近似等价于预测模型的大小。
此外，为了使宏观状态集在预测性和简约性之间取得最佳平衡，计算力学定义了[[因果等价]]的概念，如果<math>P\left ( \overrightarrow{s}|\overleftarrow{s}\right )=P\left ( \overrightarrow{s}|{\overleftarrow{s}}'\right )</math>，则<math>\overleftarrow{s}</math>和<math>{\overleftarrow{s}}'</math>是因果等价的，这种等价关系可以将所有的历史过程划分为等价类，并将它们定义为[[因果态]]。历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>的所有因果态可以被一个映射<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>，这里<math>\epsilon: \overleftarrow{\mathcal{S}}\rightarrow 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>是一个将历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>映射成因果态<math>\epsilon(\overleftarrow{s})\in 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>的函数。
此外，为了使宏观状态集在预测性和简约性之间取得最佳平衡，计算力学定义了[[因果等价]]的概念，如果<math>P\left ( \overrightarrow{s}|\overleftarrow{s}\right )=P\left ( \overrightarrow{s}|{\overleftarrow{s}}'\right )</math>，则<math>\overleftarrow{s}</math>和<math>{\overleftarrow{s}}'</math>是因果等价的，这种等价关系可以将所有的历史过程划分为等价类，并将它们定义为[[因果态]]。历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>的所有因果态可以被一个映射<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>，这里<math>\epsilon: \overleftarrow{\mathcal{S}}\rightarrow 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>是一个将历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>映射成因果态<math>\epsilon(\overleftarrow{s})\in 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>的函数。
进一步，我们可以将两个[[因果态]]<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果转移概率记为<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。而一个随机过程的<math>\epsilon</math>-machine被定义为有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，这是一种模式发现的机器，可以通过学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数来实现预测。这相当于定义了所谓的涌现因果的识别问题，这里的<math>\epsilon</math>-machine就是一个尝试发现数据中的涌现因果的机器。
进一步，我们可以将两个[[因果态]]<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果转移概率记为<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。而一个随机过程的<math>\epsilon</math>-machine被定义为有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，这是一种模式发现的机器，可以通过学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数来实现预测。这相当于定义了所谓的涌现因果的识别问题，这里的<math>\epsilon</math>-machine就是一个尝试发现数据中的涌现因果的机器。
计算力学可以证明，通过<math>\epsilon</math>-machine得到的因果态具有'''最大可预测性'''、'''最小统计复杂度'''以及'''最小随机性'''这三个重要特性，并验证了其在某种意义上是最优的。此外，作者引入了一种分层机器重构算法，可以从观测数据中计算因果态和<math>\epsilon</math>-machine。尽管该算法可能并不适用于所有场景，但作者以混沌动力学、隐马尔可夫模型和元胞自动机为例，给出了数值计算结果和相应的机器重构路径<ref name="The_calculi_of_emergence">{{cite journal|author1=Crutchfield, J.P|title=The calculi of emergence: computation, dynamics and induction|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|year=1994|volume=75|issue=1-3|page=11-54|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0167278994902739}}</ref>。
计算力学可以证明，通过<math>\epsilon</math>-machine得到的因果态具有'''最大可预测性'''、'''最小统计复杂度'''以及'''最小随机性'''这三个重要特性，并验证了其在某种意义上是最优的。此外，作者引入了一种分层机器重构算法，可以从观测数据中计算因果态和<math>\epsilon</math>-machine。尽管该算法可能并不适用于所有场景，但作者以混沌动力学、隐马尔可夫模型和元胞自动机为例，给出了数值计算结果和相应的机器重构路径<ref name="The_calculi_of_emergence">{{cite journal|author1=Crutchfield, J.P|title=The calculi of emergence: computation, dynamics and induction|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|year=1994|volume=75|issue=1-3|page=11-54|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0167278994902739}}</ref>。
虽然原始的计算力学没有给出涌现的明确定义和定量理论，但是随后一些研究人员进一步推进了该理论的发展，Shalizi等<ref name="The_calculi_of_emergence"></ref>在自己的工作中讨论了计算力学与涌现的关系。同时作者解释说，涌现可以被理解为一个动力学过程，在这个过程中，一个模式获得了能适应不同环境的能力。
虽然原始的计算力学没有给出涌现的明确定义和定量理论，但是随后一些研究人员进一步推进了该理论的发展，Shalizi等<ref name="The_calculi_of_emergence"></ref>在自己的工作中讨论了计算力学与涌现的关系。同时作者解释说，涌现可以被理解为一个动力学过程，在这个过程中，一个模式获得了能适应不同环境的能力。
因果涌现框架与计算力学存在很多相似之处，所有历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>可以看作是微观状态，所有<math>R \in \mathcal{R} </math>对应宏观状态，函数<math>\eta </math>可以理解为一种可能的粗粒化函数，因果态<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>是一种特殊状态，它至少可以与微观状态<math>\overleftarrow{s}</math>具有相同的预测能力，因此，<math>\epsilon </math>可以理解为一种有效的[[粗粒化]]策略，因果转移<math>T </math> 对应于有效的宏观动力学。最小随机性特征表征了宏观动力学的确定性，在因果涌现中可以用[[有效信息]]衡量。
因果涌现框架与计算力学存在很多相似之处，所有历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>可以看作是微观状态，所有<math>R \in \mathcal{R} </math>对应宏观状态，函数<math>\eta </math>可以理解为一种可能的粗粒化函数，因果态<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>是一种特殊状态，它至少可以与微观状态<math>\overleftarrow{s}</math>具有相同的预测能力，因此，<math>\epsilon </math>可以理解为一种有效的[[粗粒化]]策略，因果转移<math>T </math> 对应于有效的宏观动力学。最小随机性特征表征了宏观动力学的确定性，在因果涌现中可以用[[有效信息]]衡量。
====G-emergence====
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