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→具体实例
其中<math>CE</math>为因果涌现强度。如果宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。
其中<math>CE</math>为因果涌现强度。如果宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。
=====具体实例=====
=====马尔科夫链实例=====
在文献<ref name=":0"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵([math]f_m[/math])的例子，如下面左图所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，只能转变为自身的状态。
在文献<ref name=":0"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵([math]f_m[/math])的例子，如下面左图所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，只能转变为自身的状态。
[[文件:状态空间中的因果涌现.png|居左|500x500像素|状态空间上的因果涌现|替代=]]
[[文件:状态空间中的因果涌现.png|居左|500x500像素|状态空间上的因果涌现|替代=]]
=====布尔网络实例=====
另一个文献<ref name=":0"/>中的例子是一个[[布尔网络]]中发生因果涌现的例子。如图所示，这是一个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与另外两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图）。因此，该系统一共含有十六个微观状态，它的动力学可以用一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图）表示。
另一个文献<ref name=":0"/>中的例子是一个[[布尔网络]]中发生因果涌现的例子。如图所示，这是一个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与另外两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图）。因此，该系统一共含有十六个微观状态，它的动力学可以用一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图）表示。
通过对比，我们发现宏观动力学的[[有效信息]]大于微观动力学的[[有效信息]]（<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>），该系统发生了因果涌现。
通过对比，我们发现宏观动力学的[[有效信息]]大于微观动力学的[[有效信息]]（<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>），该系统发生了因果涌现。
[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居左|700x700像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现]]
[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居左|700x700像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现]]
=====连续变量中的因果涌现=====
进一步，在<ref name="Chvykov_causal_geometry">{{cite journal|author1=Chvykov P|author2=Hoel E.|title=Causal Geometry|journal=Entropy|year=2021|volume=23|issue=1|page=24|url=https://doi.org/10.3390/e2}}</ref>一文中，Hoel等人提出了[[因果几何]]理论框架，试图将因果涌现理论推广到具有连续状态的马尔科夫动力系统之中，该文章对[[随机函数映射]]定义了<math>EI</math>，同时还引入了干预噪音和[[因果几何]]的概念，并将这一概念与[[信息几何]]进行了对照和类比。[[刘凯威]]等人<ref name="An_exact_theory_of_causal_emergence">{{cite journal|author1=Liu K|author2=Yuan B|author3=Zhang J|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Linear Stochastic Iteration Systems|journal=Entropy|year=2024|volume=26|issue=8|page=618|url=https://arxiv.org/abs/2405.09207}}</ref>又进一步给出了[[随机迭代动力系统]]的精确解析的因果涌现理论。
进一步，在<ref name="Chvykov_causal_geometry">{{cite journal|author1=Chvykov P|author2=Hoel E.|title=Causal Geometry|journal=Entropy|year=2021|volume=23|issue=1|page=24|url=https://doi.org/10.3390/e2}}</ref>一文中，Hoel等人提出了[[因果几何]]理论框架，试图将因果涌现理论推广到具有连续状态的马尔科夫动力系统之中，该文章对[[随机函数映射]]定义了<math>EI</math>，同时还引入了干预噪音和[[因果几何]]的概念，并将这一概念与[[信息几何]]进行了对照和类比。[[刘凯威]]等人<ref name="An_exact_theory_of_causal_emergence">{{cite journal|author1=Liu K|author2=Yuan B|author3=Zhang J|title=An Exact Theory of Causal Emergence for Linear Stochastic Iteration Systems|journal=Entropy|year=2024|volume=26|issue=8|page=618|url=https://arxiv.org/abs/2405.09207}}</ref>又进一步给出了[[随机迭代动力系统]]的精确解析的因果涌现理论。