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==Random Function Mapping==

==Random Function Mapping==

Initially, Erik Hoel considered this and proposed the framework of causal geometry. This framework not only discusses the calculation of EI for random function mappings but also introduces the concepts of intervention noise and causal geometry. It defines the local form of EI and draws analogies and comparisons with information geometry. Below, we will discuss one-dimensional and multi-dimensional function mappings and the local form of EI.

Initially, Erik Hoel considered this and proposed the framework of causal geometry. This framework not only discusses the calculation of EI for random function mappings but also introduces the concepts of intervention noise and causal geometry. It defines the local form of EI and draws analogies and comparisons with information geometry. Below, we will discuss one-dimensional and multi-dimensional function mappings and the local form of EI.

===一维函数映射===

===One-Dimensional Function Mapping===

<math>

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其中，[math]x,y\in \mathcal{R}[/math]都是一维实数变量。按照有效信息的定义，我们需要对变量x进行干预，使其满足在其定义域空间上服从均匀分布。如果x的定义域为一个固定的区间，如[a,b]，其中a,b都是实数，那么x的概率密度函数就是[math]1/(b-a)[/math]。然而，当x的定义域为全体实数的时候，区间成为了无穷大，而x的概率密度函数就成为了无穷小。

其中，[math]x,y\in \mathcal{R}[/math]都是一维实数变量。按照有效信息的定义，我们需要对变量x进行干预，使其满足在其定义域空间上服从均匀分布。如果x的定义域为一个固定的区间，如[a,b]，其中a,b都是实数，那么x的概率密度函数就是[math]1/(b-a)[/math]。然而，当x的定义域为全体实数的时候，区间成为了无穷大，而x的概率密度函数就成为了无穷小。

为了解决这个问题，我们假设x的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和x定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。这一点可以从EI的定义中看出：{{NumBlk|:|

为了解决这个问题，我们假设x的定义域不是整个实数空间，而是一个足够大的区域：[math][-L/2,L/2][/math]，其中L为该区间的大小。这样，该区域上的均匀分布的密度函数为：[math]1/L[/math]。我们希望当[math]L\rightarrow +\infty[/math]的时候，EI能够收敛到一个有限的数。然而，实际的EI是一个和x定义域大小有关的量，所以EI是参数L的函数。这一点可以从EI的定义中看出：

 

Here, x,y∈R are both one-dimensional real variables. According to the definition of Effective Information (EI), we need to intervene on variable x so that it follows a uniform distribution over its domain. If the domain of x is a fixed interval, such as [a,b], where a and b are real numbers, the probability density function of x is 1/(b−a). However, if the domain of x extends over the entire real line, the interval becomes infinite, making the probability density function of x infinitesimally small.{{NumBlk|:|

<math>

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\begin{aligned}

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