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→模型重构算法
智能体如何处理测量结果才能识别其中因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为模式重构机器（ϵ-machine）的模型，它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪音后识别其中的因果态。模式重构机器的大小可以用统计复杂度衡量，它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，其中<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，<math>S</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都有<math>\epsilon</math>函数和<math>T</math>函数，这两个函数可以组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，通过学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数可以提高机器识别因果态的准确度。
智能体如何处理测量结果才能识别其中因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为模式重构机器（ϵ-machine）的模型，它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪音后识别其中的因果态。模式重构机器的大小可以用统计复杂度衡量，它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，其中<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，<math>S</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都有<math>\epsilon</math>函数和<math>T</math>函数，这两个函数可以组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，通过学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数可以提高机器识别因果态的准确度。
模式重构机器有两个比较重要的指标分别是香农熵率和统计复杂度，可以用于捕捉外部环境是如何生成和处理信息的。香农熵率<math>h_μ </math>度量了外部环境生成信息的速率，其单位是每符号比特数，<math>h_μ </math>越高，信息产生越多，环境看起来越不可预测。统计复杂度<math>C_μ </math>度量了模式重构机器的大小，<math>C_μ </math>越大就代表了处理外部环境信息所消耗的计算资源越多。
==多层模式重构机器==
==多层模式重构机器==
===模型重构算法===
===模型重构算法===
上面介绍了模式重构机器，是智能体识别因果态的一种方式。若结合模型创新的概念，就可以给出模式重构机器的完整定义：能够用最少的计算资源对测量结果进行有限描述同时复杂度最小的模型。模型的算法步骤如下：
1. 在最低水平上，设定0级模型为描述数据本身，即<math>M_0=s</math>，将初始层级<math>l</math>设置为比0级高一级，即<math>l=1</math>；
1. 在最低水平上，设定0级模型为描述数据本身，即<math>M_0=s</math>，将初始层级<math>l</math>设置为比0级高一级，即<math>l=1</math>；
==混沌动力学实例==
==混沌动力学实例==
接下来将采用具体的方法来演示如何将计算力学的理论应用于实际案例，要演示的是混沌动力学中的逻辑斯谛映射(logistic map)，特别是其周期倍增的混沌路径。用于重建模型的数据流来自逻辑斯谛映射的轨迹，当它以吸引子上的初始条件启动时，可以让观察到的过程是平稳的。轨迹是通过迭代映射<math>x_{n+1}=f(x_n)</math>生成的，迭代函数为<math>f(x) = rx(1-x)</math>，其中非线性参数<math>\begin{matrix}r&\in&[0,4]\end{matrix}</math>，初始条件<math>x_0\in[0,1]</math>，迭代函数的最大值出现在<math>x_c = \frac12</math>。通过二元分割观察轨迹<math>\mathbf{x}=x_0x_1x_2x_3\ldots </math> ，将其转换为离散序列<math>\mathcal{P}=\{x_n\in[0,x_c)\Rightarrow s=0,x_n\in[x_c,1]\Rightarrow s=1\} </math>，这种划分是“生成”的，这意味着足够长的二进制序列来自任意小的初始条件间隔。因此，可以使用粗粒化的观测<math>\mathcal{P} </math>来研究逻辑斯谛映射中的信息处理。
接下来将采用具体的方法来演示如何将计算力学的理论应用于实际案例，要演示的是混沌动力学中的逻辑斯谛映射(logistic map)，特别是其周期倍增的混沌路径。用于重建模型的数据流来自逻辑斯谛映射的轨迹，轨迹是通过迭代映射<math>x_{n+1}=f(x_n)</math>生成的，迭代函数为<math>f(x) = rx(1-x)</math>，其中非线性参数<math>\begin{matrix}r&\in&[0,4]\end{matrix}</math>，初始条件<math>x_0\in[0,1]</math>，迭代函数的最大值出现在<math>x_c = \frac12</math>。
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上图为迭代函数<math>f(x) = rx(1-x)</math>中<math>r</math>与<math>x</math>的关系图，当<math>r＜3.5699...</math>时函数存在倍周期现象，当<math>r＞3.5699...</math>时会出现混沌现象。
上图为迭代函数<math>f(x) = rx(1-x)</math>中<math>r</math>与<math>x</math>的关系图，当<math>r＜3.5699...</math>时函数存在倍周期现象，当<math>r＞3.5699...</math>时会出现混沌现象。若要识别混沌中的有序结构，就需要对<math>x</math>进行粗粒化操作，方法是通过二元分割观察轨迹<math>\mathbf{x}=x_0x_1x_2x_3\ldots </math> ，将其转换为离散序列<math>\mathcal{P}=\{x_n\in[0,x_c)\Rightarrow s=0,x_n\in[x_c,1]\Rightarrow s=1\} </math>，这种划分是“生成”的，这意味着足够长的二进制序列来自任意小的初始条件间隔。因此，可以使用粗粒化的观测<math>\mathcal{P} </math>来研究逻辑斯谛映射中的信息处理。
==参考文献==
==参考文献==