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小第328行：
第328行： − 该粗粒化方法包括五个步骤：+ − − 1) 对TPM进行SVD分解； + + + 第339行：
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第347行： − + + + 第359行：
第362行： − +
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</math>不变。
</math>不变。
==方法==
==方法==
该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有静止流都是保守流的原则，对原始TPM进行还原。
1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性性，从而存在静态分布）：
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
2)选择一个<math>
2)选择一个<math>
\epsilon
\epsilon
3)通过计算<math>
3)通过计算<math>
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>对P中的所有Pi进行降维，其中<math>
</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>
V_{N\times r_{\epsilon}}
V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>由<math>
</math>由<math>
</math>特征向量构成；
</math>特征向量构成；
4) 将<math>
4) 通过 K-means 算法将 ̃ P 中的所有行向量聚类为 r 组，得到投影矩阵 Φ，其定义为:
将<math>
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>中的所有行向量聚类为<math>r_{\epsilon}
</math>中的所有行向量聚类为<math>r_{\epsilon}
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。