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该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有静止流都是保守流的原则，对原始TPM进行还原。

该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有静止流都是保守流的原则，对原始TPM进行还原。

1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性性，从而存在静态分布）：

1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在静态分布）：

<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>

<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>

</math>特征向量构成；

</math>特征向量构成；

4) 通过 K-means 算法将\tilde{P}中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:<math>

4) 通过 K-means 算法将\tilde{P}中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:

 

<math>

\Phi_{ij} =\begin{cases}  

\Phi_{ij} =\begin{cases}  

1,  & \text{如果}\tilde{P_{i}}\text{属于第r组}\\

1,  & \text{如果}\tilde{P_{i}}\text{属于第r组}\\

0, & \text{其他情况}

0, & \text{其他情况}

\end{cases}</math>

\end{cases}</math>

对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。

对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。

5) 利用<math>

5) 利用<math>

\Phi</math>和P得到新的TPM。

\Phi</math>和P得到新的TPM。

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为静态流矩阵，如下所示：

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为静态流矩阵，如下所示：

<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],

<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],

</math>

</math>

其中，<math>\miu</math>是P的静态分布，满足<math>P\cdot\miu=\miu</math>。

 

其中，<math>\miu</math>是P的静态分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。

 

其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出缩减流矩阵：

其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出缩减流矩阵：

<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,

<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,

</math>

</math>

其中，F'是还原静态流量矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：

其中，F'是还原静态流量矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：

<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].

<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].