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具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。在这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。在这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的'[[秩 rank ]]。我们把 <math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别叫做 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们分别构成两组[[正交基 orthonormal bases ]] <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>。如果我们将值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 排在最后，奇异值分解就可以写成：

<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的[[秩 rank ]]。我们把 <math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别叫做 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们分别构成两组[[正交基 orthonormal bases ]] <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>。如果我们将值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 排在最后，奇异值分解就可以写成：

<math>

<math>

这里 <math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。

这里 <math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。

虽然SVD不是唯一的，但我们总能选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

虽然SVD不是唯一的，但我们普遍可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。这是一种类似的分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math>，<math>r</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆 pseudoinverse ]]、[[矩阵近似 matrix approximation ]]以及确定矩阵的[[秩 rank ]]、[[值域 range ]]和[[零空间 null space ]]。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如信号处理、[[数据最小二乘拟合 least squares fitting of data ]]和过程控制等。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆 pseudoinverse ]]、[[矩阵近似 matrix approximation ]]以及确定矩阵的[[秩 rank ]]、[[值域 range ]]和[[零空间 null space ]]。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如信号处理、[[数据最小二乘拟合 least squares fitting of data ]]和过程控制等。