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===旋转、坐标缩放和反射===

===旋转、坐标缩放和反射===

特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时，我们可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换 linear transformation]]<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转 rotations 或反射 reflection ，而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放 scaling 。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。

特殊情况下，当<math>\mathbf{M}</math>是<math>m \times m</math>的实方阵时，我们可以将矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>选为实<math>m \times m</math>矩阵。此时，"酉矩阵"和"正交矩阵"实际上是一回事。我们可以将这两个酉矩阵和对角矩阵（这里统称为<math>\mathbf{A}</math>）解读为空间<math>\mathbb{R}^m</math>的[[线性变换]]（linear transformation）<math>x \mapsto \mathbf{Ax}</math>。其中，矩阵<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>代表空间的旋转 rotations 或反射 reflection ，而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>则表示对每个坐标<math>x_i</math>按因子<math>\sigma_i</math>进行缩放 scaling 。这样，奇异值分解就把<math>\mathbb{R}^m</math>的任何线性变换分解成了三个几何变换的组合：先旋转或反射（<math>\mathbf{V}^*</math>），然后逐坐标缩放（<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>），最后再旋转或反射（<math>\mathbf{U}</math>）。

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