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<math>S</math>和<math>A</math>之间的Hard Partition映射关系为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>

<math>S</math>和<math>A</math>之间的Hard Partition映射关系为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>

对于任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。

对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。

这种轨迹的投影可以写作下列公式：

这种轨迹的投影可以写作下列公式：

# 式子3.1：系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子3.1：系统在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>的概率；

# 式子3.2：已知在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>，那么在时间<math>t=1</math>的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子3.2：已知在<math>t=0</math>的微观状态<math>s^{(0)}</math>属于某个宏观状态<math>A_i</math>，那么在时间<math>t=1</math>的微观状态<math>s^{(1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_j</math>的概率；

# 式子3.3：已知历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>对应的宏观状态，那么在时间<math>t+1</math>的微观状态<math>s^{(t+1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

# 式子3.3：已知历史微观状态<math>\{s^{(0)}, ... , s^{(t-1)} \}</math>对应的宏观状态，那么在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；

回想一下图(1)的交换律。我们现在有了微观动力学，也有了微观到宏观的粗粒化过程。所以式子(3)描述的是 微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 这一条路径。

回想一下图(1)的交换律。我们现在有了微观动力学，也有了微观到宏观的粗粒化过程。所以式子(3)描述的是 微观状态->微观动力学->粗粒化->宏观状态 这一条路径。

<math>A</math>是一个lumpable partition。

<math>A</math>是一个lumpable partition。

不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。

不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。

 

 

===lumpable partition的充分必要条件===

===lumpable partition的充分必要条件===