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→基于变分表征（variational characterization）
现在我们提出以下陈述: <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的左右奇异向量，对应的奇异值为 <math>\sigma_1</math>。
现在我们提出以下陈述: <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的左右奇异向量，对应的奇异值为 <math>\sigma_1</math>。
证明如下：类似于特征值的情况，根据假设，这两个向量满足拉格朗日乘数方程:
<math>\nabla \sigma = \nabla \mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{M}\mathbf{v} - \lambda_1 \cdot \nabla \mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{u} - \lambda_2 \cdot \nabla \mathbf{v}^{\operatorname{T}}\mathbf{v}</math>
<math>\nabla \sigma = \nabla \mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{M}\mathbf{v} - \lambda_1 \cdot \nabla \mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{u} - \lambda_2 \cdot \nabla \mathbf{v}^{\operatorname{T}}\mathbf{v}</math>