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→空间因果涌现
=== 空间因果涌现 ===
=== 空间因果涌现 ===
根据前文，因果涌现量化指标可以拆分为确定性和简并性两项。接下来，分别对由确定性和简并性主导的因果涌现给出一个实例，介绍空间因果涌现。
'''1.确定性提高实例分析'''
'''1.提高确定性实例分析'''
'''微观尺度'''：微观系统由四个布尔元素组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中AB一组，CD一组，每个元素[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个元素[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A右侧为详细的对应关系，例如[math]t[/math]时刻另一组元素的状态均为0，则该被输入元素[math]t+1[/math]时刻有70%的概率为0，30%的概率为1。将系统以等概率设置为所有可能的微观状态（共[math]2^4=16[/math]个），可以得到16 × 16 [math]S_m[/math] 的概率转移矩阵(图C)。根据EI的定义可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.29[/math]。
'''微观尺度'''：微观系统由四个布尔元素组成[math]S_m = \{ABCD\}[/math] (图A)，其中AB一组，CD一组，每个元素[math]t+1[/math]时刻的状态由另一组两个元素[math]t[/math]时刻的状态决定。机制是一个带噪声的AND门，图A右侧为详细的对应关系，例如[math]t[/math]时刻另一组元素的状态均为0，则该被输入元素[math]t+1[/math]时刻有70%的概率为0，30%的概率为1。将系统以等概率设置为所有可能的微观状态（共[math]2^4=16[/math]个），可以得到16 × 16 [math]S_m[/math] 的概率转移矩阵(图C)。根据EI的定义可以计算得到有效信息[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.29[/math]。
'''粗粒化映射'''：根据系统的分组机制，组内元素的状态之间不会互相影响，因此同组的两个微观元素可以被映射为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个宏观元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math](图B)。考虑微观状态的转移机制(图A右侧)，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此宏观元素状态可以映射为{"on" ,"off"}两种(图D)。
'''粗粒化映射'''：根据系统的分组机制，同组元素的状态之间不会互相影响，接受相同元素的输入且机制相同，因此同组元素是lumpable的，可以被映射为同一个宏观元素。微观系统[math]S_m = \{ABCD\}[/math]可以被粗粒化为有两个宏观元素[math]{α, β}[/math]的宏观系统[math]S_M[/math](图B)。考虑微观状态的转移机制(图A右侧)，输入值00，01和10决定状态的规则相同，输入值11对应另一种，因此宏观元素状态可以对应映射为{"off" ,"on"}两种(图D)。
'''宏观尺度'''：将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 宏观状态转移矩阵(图E)，计算得到宏观尺度下[math]EI(S_M) = 1.55 \text{ bits}[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观的因果性优于微观，因果涌现发生。
'''宏观尺度'''：将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到 4 × 4 的[math]S_M[/math] 宏观状态转移矩阵(图E)，计算得到宏观尺度下[math]EI(S_M) = 1.55 \text{ bits}[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现度量[math]CE(S) = EI(S_M) - EI(S_m) 0.40 \text{ bits}[/math]，宏观的因果性优于微观，因果涌现发生。
'''2.抵消简并性实例分析'''
'''2.抵消简并性实例分析'''
'''微观机制'''：微观系统由6个布尔元素[math]S_m = \{ABCDEF\}[/math]构成，其中A、B接受E和F的输入，C、D接受A和B的输入，E、F接受C和D输入。连接机制为确定性AND门，对应高确定性和高简并度(图A，确定性为1；简并度为0.6)。[math]EI(S_m) = 2.43 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.4[/math](图B)。
'''微观机制'''：微观系统由6个布尔元素[math]S_m = \{ABCDEF\}[/math]构成，其中A、B接受E和F的输入，C、D接受A和B的输入，E、F接受C和D输入。连接机制为确定性AND门，对应完全确定性和高简并度(图A)。微观系统的概率转移矩阵如图B所示，可以得到[math]EI(S_m) = 2.43 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.4[/math](图B)。
'''粗粒化映射'''：最优宏观粗粒化分组映射为将6个微观AND门组合成3个宏观COPY门(αβγ)(图B)。
'''粗粒化映射'''：同上例，根据微观机制的lumpability，接受相同输入的元素可以被分为同一组，因此可以分为3个宏观元素。根据机制的同类性，{[00,01,10], [11]}可分别对应宏观态{"off" ,"on"}，确定性AND门映射为COPY门，即宏观元素完全复制输入元素的状态(图C左侧)。最优粗粒化方案即为将6个微观AND门映射为3个宏观COPY门(图C的αβγ)。
'''宏观尺度'''：该系统中宏观和微观都是完全确定性的，但简并性减小 [math]\Delta I_{Eff} = 1.79 \text{ bits}[/math]> - [math]\Delta I_{Size} = 1.22 \text{ bits}[/math]。所以宏观尺度下 [math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]EI(S_M) = 3 \text{ bits}[/math]，宏观因果涌现([math]CE = 0.57 \text{ bits}[/math])。
'''宏观尺度'''：该系统中宏观和微观都是完全确定性的，但简并性减小 [math]\Delta I_{Eff} = 1.79 \text{ bits}[/math]> - [math]\Delta I_{Size} = 1.22 \text{ bits}[/math]。所以宏观尺度下 [math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]EI(S_M) = 3 \text{ bits}[/math]，宏观因果涌现([math]CE = 0.57 \text{ bits}[/math])。