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→Lumpability
给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。这种轨迹的投影可以写作下列公式：
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。
'''''定义1'''''：'''Lumped process，微观轨迹在宏观空间上的投影，可以写作下列公式：'''
{{NumBlk|:|
<math>
Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i]
</math>
|{{EquationRef|3.1}}}}
{{NumBlk|:|
<math>
Pr_{\pi}[s^{(1)} \in A_j | s^{(0)} \in A_i]
</math>
|{{EquationRef|3.2}}}}
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i]
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
|{{EquationRef|3.3}}}}
其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。
'''其中，<math> \pi </math>为初始微观状态。'''
这些公式描述了：
这些公式描述了：
我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做lumpable partition：
我们暂且先不考虑‘失败’的情况，先关注‘成功’的部分。书中接下来就定义了什么叫做lumpable partition：
'''''定义2'''''：'''lumpable partition'''
'''对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列两个条件都满足时，<math>A</math>是一个lumpable partition。'''
<math>A</math>是一个lumpable partition。
# '''定义1中的lumped process具有马尔科夫性，即式子(3.3)可写成<math>Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i \right ] = Pr_{\pi} \left [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k \right ]</math>时'''
# '''转移概率(Transition probability)，即式子(3.3)对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，'''
不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
===lumpable partition的充分必要条件===
===lumpable partition的充分必要条件===
设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
'''''定理1：'''''
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。
'''对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。'''