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→几何意义：
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向送到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。
1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向映射到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。
2. 应用沿坐标轴对角化的[[自同态]]（endomorphism 映射自身到自身的线性变换）<math>\mathbf{D}</math>，在每个方向上进行拉伸或收缩，使用<math>T(S)</math>的半轴长度作为拉伸系数。组合<math>\mathbf{D} \circ \mathbf{V}^*</math>将单位球面送到与<math>T(S)</math>等距的椭球体。
2. 应用沿坐标轴对角化的[[自同态]]（endomorphism 映射自身到自身的线性变换）<math>\mathbf{D}</math>，在每个方向上进行拉伸或收缩，使用<math>T(S)</math>的半轴长度作为拉伸系数。组合<math>\mathbf{D} \circ \mathbf{V}^*</math>将单位球面映射到与<math>T(S)</math>等距的椭球体。
3. 最后，对这个椭球体应用等距变换<math>\mathbf{U}</math>以得到<math>T(S)</math>。
3. 最后，对这个椭球体应用等距变换<math>\mathbf{U}</math>以得到<math>T(S)</math>。